レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習1

(a) 数体 \( K \) が \( \mathbb{Q} \) 上次数2であるとする. \( K = \mathbb{Q}[\alpha] \) とし, \[ f(x) = a x^2 + b x + c \quad (a, b, c \in \mathbb{Z} ) \] を \( \alpha \) の最小多項式とする. \( f(\alpha) = 0 \) であるから, \[ \alpha = \frac{-b \pm \sqrt{m}}{2a}, \quad m = b^2 - 4ac. \] これより, \[ K = \mathbb{Q}[\alpha] = \mathbb{Q}[\sqrt{m}]. \quad \Box \]

(b) (i) \(m \), \( n \in \mathbb{Z} \) は平方因子をもたないとする. \( m \neq n \) とする. \( \mathbb{Q}[\sqrt{m}] = \mathbb{Q}[\sqrt{n}] \) と仮定して矛盾を導く. このときには, \[ \sqrt{m} \in \mathbb{Q}[\sqrt{n}] \] であるから, \[ \sqrt{m} = a + b\sqrt{n} \quad (\exists a, b \in \mathbb{Q}). \tag{*} \] \( b = 0 \) であれば, \( \sqrt{m} \in \mathbb{Q} \) となるので, \( b \neq 0 \) である. \( a = 0 \) であれば, \[ m = b^2 n \] であり, 互いに素な整数 \( c \), \( d \) を用いて, \[ b = \frac{c}{d} \] と書くと, \[ d^2 m = c^2 n \] である. \(c \) と \( d \) は平方因子をもたないので, \[ c^2 \mid m, \quad d^2 \mid n \] より, \[ c^2 = d^2 = 1 \] が従う. これは \( b^2 = 1 \) を意味し, \( m = n \) となるので, \( a \neq 0 \) である. (*)を2乗すると, \[ m = a^2 + 2ab \sqrt{n} + b^2 n \] を得るが, \( ab \neq 0 \) より, \( \sqrt{n} \in \mathbb{Q} \) となる. これは矛盾である. \( \Box \)

(ii) \[ \sigma \, \colon \, \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \longrightarrow \mathbb{Q}[\sqrt{n}] \] を同型とする. このとき, \[ \left( \sigma( \sqrt{m} ) \right)^2 = \sigma( (\sqrt{m})^2 ) = \sigma(m) = m \] より, \[ \sigma(\sqrt{m}) = \pm \sqrt{m}. \] したがって, \[ \mathbb{Q}[\sqrt{n}] = \sigma \left( \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \right) = \mathbb{Q}[\sigma(\sqrt{m})] = \mathbb{Q}[\sqrt{m}]. \] (i) より, これは矛盾である. \( \Box \)

広告を非表示にする