レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習32

(1) 単位元の存在:

単項イデアル全体のなすイデアル類を \( C_0 \) とおく. \( C \) をイデアル類とし, \( C \) に含まれるイデアル \( A \) をとる. \[ RA = A \] であるから, \[ C_0 C = C \] である.

(2) 逆元の存在:

\( C \) をイデアル類とし, \( C \) に含まれるイデアル \( A \) をとる. 仮定より, あるイデアル \( B \) が存在して, \[ AB = ( \alpha ), \quad 0 \neq \exists \alpha \in R. \] \( B \) を含むイデアル類を \( C' \) とすると, \[ C C' = C_0. \] よって, \( C \) は逆元をもつ. \( \Box \)