レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習31

(1) \[ \alpha A = (\beta), \quad \beta \in R \] とする. \( \beta \in \alpha A \) であるから, \[ \beta = \alpha a_0, \quad \exists a_0 \in A. \] 任意の \( a \in A \) に対して, ある \( r \in R \) が存在して, \[ \alpha a = r \beta. \] ゆえに, \[ \alpha a = r \cdot \alpha a_0. \] \( R \) は整域で, \( \alpha \neq 0 \) であるから, \[ a = r a_0. \] したがって, \[ A = (a_0) \] である. \( \Box \)

(2) (a) 0 でない単項イデアル同士は同値である:

\( A = (a) \), \( B = (b) \) を \( R \) の 0 でない単項イデアルとする. \[ bA = \{ rab \, | \, r \in R \} = aB \] であり, \( a \neq 0 \), \( b \neq 0 \) であるから, \( A \sim B \) である. \( \Box \)

(b) 0 でない単項イデアルと同値なイデアルは 0 でない単項イデアルである:

\( A \) を \( R \) のイデアルとし, \[ A \sim R \] とする. このとき, ある 0 でない \( \alpha \), \( \beta \in R \) が存在して, \[ \alpha A = \beta R. \] (1)より \( A \) は単項であり, \( \beta R \) が 0 でないから \( A \) も 0 でない. \( \Box \)