レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習30

\( A \), \( B \) を \( R \) のイデアルとする.

(1) \( A \) と \( B \) が同じイデアル類に属するとする. このとき, ある 0 でない \( \alpha \), \( \beta \in R \) が存在して,

\[ \alpha A = \beta B. \]

\( R \) は整域であり, \( \alpha \neq 0 \), \( \beta \neq 0 \) であるから, 写像

\begin{align} m_{\alpha} &\colon A \longrightarrow \alpha A, \quad x \mapsto \alpha x, \\ m_{\beta} &\colon B \longrightarrow \beta B, \quad x \mapsto \beta x \end{align}

は \( R \) 加群の同型である. 合成

\[ A \xrightarrow{m_{\alpha}} \alpha A = \beta B \xrightarrow{m_{\beta}^{-1}} B \]

は \( A \) から \( B \) への \( R \) 加群の同型であるから, \( A \) と \( B \) は \( R \) 加群として同型である. \( \Box \)

(2) \( A \), \( B \) は \( R \) 加群として同型であるとし,

\[ f \colon A \longrightarrow B \]

を \( R \) 加群の同型とする. \( A = \{ 0 \} \) ならば \( B = \{ 0 \} \) であり, \( A \) と \( B \) は同じイデアル類に属する. \( A \neq \{ 0 \} \) とし, \( 0 \neq \alpha \in A \) をとる. このとき, 任意の \( a \in A \) に対して,

\[ f(\alpha) a = f(\alpha a) = \alpha f(a) \]

であるから,

\[ f(\alpha) A = \alpha B. \]

\( \alpha \neq 0 \), \( f(\alpha) \neq 0 \) であるから, \( A \) と \( B \) は同じイデアル類に属する. \( \Box \)