レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習29

(1) 積を計算すると,

\begin{align} &1 + \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4} + 3 \omega^{5} + 3 \omega^{6} \\[0.3em] &+ 3 \omega^{7} + \omega^{8} + 3 \omega^{9} + 3 \omega^{10} + 7 \omega^{11} + 3 \omega^{12} \\[0.3em] &+ 3 \omega^{13} + \omega^{14} + 3 \omega^{15} + 3 \omega^{16} + 3 \omega^{17} + \omega^{18} \\[0.3em] &+ \omega^{19} + \omega^{20} + \omega^{21} + \omega^{22} \end{align}

となる.

\[ 1 + \omega + \cdots + \omega^{22} = 0 \]

より

\[ \omega^{22} = -(1 + \omega + \cdots + \omega^{21}) \]

なので, 積は

\begin{align} &2 \omega^{5} + 2 \omega^{6} \\[0.3em] &+ 2 \omega^{7} + 2 \omega^{9} + 2 \omega^{10} + 6 \omega^{11} + 2 \omega^{12} \\[0.3em] &+ 2 \omega^{13} + 2 \omega^{15} + 2 \omega^{16} + 2 \omega^{17} \end{align}

に等しい. したがって, 積は 2 で割り切れる. \( \Box \)

(2) 練習 22 より, 各因子は 2 で割り切れない. \( \Box \)