レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習27

1. \( 2 \le k \le p-2 \) とする. このとき,

\[ 1 \le k - 1 < k \le p-2 \]

である.

\[ x + \left( y \omega - y \omega^{k - 1} - x \omega^k \right) \equiv 0 \pmod{p} \]

より,

\[ p \mid x \]

であるが, これは矛盾である.

2. \( k = p-1 \) とする. このとき,

\[ x + y \omega - y \omega^{p - 2} - x \omega^{p - 1} \equiv 0 \pmod{p} \]

である. 等式

\[ 1 + \omega + \cdots + \omega^{p-1} = 0 \tag{#} \]

より

\[ x + y \omega - y \omega^{p-2} + x (1 + \omega + \cdots + \omega^{p-2}) \equiv 0 \pmod{p} \]

であるが, 左辺を書き換えると,

\[ (2x) + \left\{ y \omega - y \omega^{p-2} + x (\omega + \cdots + \omega^{p-2}) \right\} \equiv 0 \pmod{p}. \]

したがって,

\[ p \mid 2x \]

である. これより,

\[ p \mid x \]

となるが, これは矛盾である.

3.\( k = p \) とする. このとき,

\[ x + y \omega \equiv y \omega^{p-1} + x \pmod{p} \]

であるが, 等式(#)より,

\[ y \omega + y(1 + \omega + \cdots + \omega^{p-2}) \equiv 0 \pmod{p}. \]

左辺を整理すると,

\[ y + \left\{ y \omega + y (\omega + \cdots + \omega^{p-2}) \right\} \equiv 0 \pmod{p}. \]

したがって,

\[ p \mid y \]

であるが, これは矛盾である.

以上より,

\[ k \equiv 2, \, 3, \, \ldots, \, p \pmod{p} \]

ではないので,

\[ k \equiv 1 \pmod{p} \]

である. \( \Box \)