レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習26

練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して,

\[ \alpha^p \equiv a \pmod{p}. \]

したがって,

\[ x + y \omega \equiv u \alpha^p \equiv u a \pmod{p} \]

である. 共役をとると,

\[ x + y \omega^{-1} \equiv \overline{u} a \pmod{p}. \]

単数に関する補題より,

\[ u = \overline{u} \, \omega^k \quad (\exists k \in \mathbb{Z}) \]

であるから,

\[ x + y \omega \equiv \overline{u} \omega^k \cdot a \equiv (x + y \omega^{-1}) \omega^k \pmod{p}. \quad \Box \]