レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習25

\[ \alpha = a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} \quad (a_i \in \mathbb{Z}) \]

とする. 練習 24 より,

\begin{align} \alpha^p &= (a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2})^p \\ & \equiv a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (a_{p-2} \omega^{p-2})^p \pmod{p}. \end{align}

\( \omega^p =1 \) であるから,

\[ a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (a_{p-2} \omega^{p-2})^p = a_0^p + a_1^p + \cdots + a_{p-2}^p \in \mathbb{Z} \]

である. これで, 示された. \( \Box \)

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