レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習24

(1) \[ (\beta + \gamma)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} \beta^i \gamma^{p-i} \equiv \beta^p + \gamma^p \pmod{p}. \quad \Box \]

(2) \[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p = \beta_1^p + \cdots + \beta_r^p \pmod{p} \]

を \( r \) に関する帰納法で示す. \( r = 2 \) の場合は既に示した. \( r > 2 \) とする. \( r = 2 \) のときの結果を使うと,

\[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p \equiv (\beta_1 + \cdots + \beta_{r-1})^p + \beta_r^p \pmod{p}. \]

帰納法の仮定より,

\[ (\beta_1 + \cdots + \beta_{r-1})^p \equiv \beta_1^p + \cdots + \beta_{r-1}^p \pmod{p} \]

であるから,

\[ (\beta_1 + \cdots + \beta_{r})^p \equiv \beta_1^p + \cdots + \beta_{r-1}^p + \beta_r^p \pmod{p} \]

である. \( \Box \)

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