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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習21

(1) \( \omega \) は

\[ t^{p} - 1 = (t^{p-1} + t^{p-2} + \cdots + t + 1) (t - 1) = f(t) (t - 1) \]

の根である.

\[ \omega - 1 \neq 0 \]

であるから,

\[ f(\omega) = 0. \quad \Box \]

(2) \begin{align} f(t+1) &= \frac{(t+1)^{p} - 1}{t} = \frac{ \binom{p}{p} t^{p} + \binom{p}{p-1} t^{p-1} + \cdots + \binom{p}{1} t }{t} \\ &= \binom{p}{p} t^{p-1} + \binom{p}{p-1} t^{p-2} + \cdots + \binom{p}{1} \end{align}

である.

\begin{align} & p \nmid \binom{p}{p} = 1, \\ & p \mid \binom{p}{i} \quad (1 \le h \le p-1), \\ & p \nmid \binom{p}{1} = p \end{align}

であるから, アイゼンシュタインの判定法より, \( f(t+1) \) は \( \mathbb{Q} \) 上既約である. したがって, \( f(t) \) も \( \mathbb{Q} \) 上既約である. \( \Box \)

(3) \( \alpha \in \mathbb{Q}[\omega] \) とする. ある \( \mathbb{Q} \) 上の多項式 \( g(t) \) に対して,

\[ \alpha = g(\omega) \]

である. \( g(t) \) を \( f(t) \) で割って,

\[ g(t) = q(t) f(t) + r(t), \quad \deg r < \deg f \]

とする.

\[ r(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^{2} + \cdots + a_{p-2} t^{p-2}, \quad a_i \in \mathbb{Q} \]

とおくとき, \( f(\omega) = 0 \) であるから,

\[ \alpha = g(\omega) = r(\omega) = a_0 + a_1 \omega + a_2 \omega^{2} + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2}. \quad \Box \]

(4) \( p(\omega) = 0 \) となる 0 でない \( \mathbb{Q} \) 上の多項式 \( p(t) \) のうち, 次数が最小のものをとる. \( f(t) \) を \( p(t) \) で割って,

\[ f(t) = q(t) p(t) + r(t), \quad \deg r < \deg p \]

とすると, \( f(\omega) = p(\omega) = 0 \) であるから,

\[ r(\omega) = 0. \]

\( p(t) \) の次数の最小性より,

\[ r(t) = 0 \]

でなければならない. よって,

\[ f(t) = q(t) p(t). \]

\( f(t) \) は既約であったから, \( q(t) \) と \( p(t) \) のどちらかは定数であるが, \( p(t) \) は定数でないので, \( q(t) \) が定数である. よって, \( f(t) \) と \( p(t) \) の次数は等しい. したがって, 次数が \( p-2 \) 以下の多項式で \( \omega \) を根にもつものは \( 0 \) しかない.

\[ a_0 + a_1 t + a_2 t^{2} + \cdots + a_{p-2} t^{p-2} = b_0 + b_1 t + b_2 t^{2} + \cdots + b_{p-2} t^{p-2} \quad a_i, b_i \in \mathbb{Q} \]

とする. このとき, 多項式

\[ g(t) = (a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) t + (a_2 - b_2) t^{2} + \cdots + (a_{p-2} - b_{p-2}) t^{p-2} \]

に対して, \( g(\omega) = 0 \) であるが, 先に示したことにより,

\[ g(t) = 0 \]

でなければならない. これより,

\[ a_i = b_i \quad (0 \le i \le p-2) \]

が従い, 一意性が示された. \( \Box \)

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