レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習20

\begin{align} &(x + y \omega) = P_1^{a_1} \cdots P_r^{a_r}, \\ &(x+y) (x + y \omega^{2}) \cdots (x + y \omega^{p-1}) = P_1^{b_1} \cdots P_r^{b_r}, \\ &(z) = P_1^{c_1} \cdots P_r^{c_r} \end{align}

と素イデアル分解する. 練習19より,

\[ a_h > 0 \, \Longrightarrow \, b_h = 0 \]

である.

\[ (x+y) (x + y \omega) \cdots (x + y \omega^{p-1}) = (z)^{p} \]

より,

\[ P_1^{a_1 + b_1} \cdots P_r^{a_r + b_r} = P_1^{p c_1} \cdots P_r^{p c_r}. \]

したがって,

\[ a_h + b_h = p c_h \quad (1 \le h \le r) \]

である. \( a_h > 0 \) のときには,

\[ a_h = p c_h. \]

よって,

\[ (x + y \omega) = \prod_{a_h \neq 0} P_h^{a_h} = \prod_{a_h \neq 0} P_h^{p c_h} = \left (\prod_{a_h \neq 0} P_h^{c_h} \right)^{p}. \quad \Box \]