レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習18

既約元の(同伴に関する)完全代表系を \( S \) とする. このとき,

\begin{align} & x + y \omega = u_1 \prod_{\pi \in S} \pi^{a_{\pi}}, \\ & (x + y) (x + y \omega^{2}) \cdots (x + y \omega^{p - 1}) = u_2 \prod_{\pi \in S} \pi^{b_{\pi}}, \\ & z = u_3 \prod_{\pi \in S} \pi^{c_{\pi}} \end{align}

と書ける. ただし, \( u_1 \), \( u_2 \), \( u_3 \) は単数である.

\[ S_1 = \{ \pi \in S \, | \, a_{\pi} \neq 0 \} \]

とおくとき, 練習17より, 任意の \( \pi \in S_1 \) に対して \( b_{\pi} = 0 \) である.

\[ (x + y) (x + y \omega) \cdots (x + y \omega^{p - 1}) = z^{p} \]

であるから,

\[ u_1 u_2 \prod_{\pi \in S} \pi^{a_{\pi} + b_{\pi}} = u_3^{p} \prod_{\pi \in S} \pi^{p c_{\pi}}. \]

したがって,

\[ a_{\pi} + b_{\pi} = p c_{\pi} \quad ({}^{\forall} \pi \in S) \]

である. よって,

\[ a_{\pi} = p c_{\pi} \quad ({}^{\forall} \pi \in S_1). \]

これより,

\[ x + y \omega = u_1 \prod_{\pi \in S_1} \pi^{a_{\pi}} = u_1 \prod_{\pi \in S_1} \pi^{p c_{\pi}} = u_1 \left( \prod_{\pi \in S_1} \pi^{c_{\pi}} \right)^{p} \]

であるから, 示された. \( \Box \)