レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習19

\( P \) を素イデアルとし,

\[ P \mid (x + y \omega), \quad P \mid (x + y \omega^{k}) \quad (2 \le k \le p) \]

とする.

  1. \[ P \supset (x + y \omega) \supset \left( (x + y)(x + y \omega) \cdots (x + y \omega^{p - 1}) \right) = \left( z^{p} \right) \] より \[ P \ni z^{p}. \] \( P \) は素イデアルであるから, \( P \ni z \).
  2. \[ P \ni (x + y \omega) - (x + y \omega^{k}) = y \omega (1 - \omega^{k - 1}) \] より \[ P \ni y (1 - \omega^{k - 1}). \] したがって, \[ P \ni y (1 - \omega) \cdots (1 - \omega^{k - 1}) \cdots (1 - \omega^{p - 1}) = yp. \]

ある \( m \), \( n \in \mathbb{Z} \) に対して,

\[ zm + ypn = 1 \]

であるから, \( P \ni 1 \). したがって, \( P = \mathbb{Z}[\omega] \) となるが, これは \( P \) が素イデアルであることに矛盾する. \( \Box \)

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