レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習17

\[ \pi \mid x + y\omega , \quad \pi \mid x + y\omega^{k} \quad (2 \le {}^{\exists} k \le p) \]

と仮定する(\( x + y = x + y \omega^{p} \) に注意).

  1. \( \pi \mid z^{p} \) より \( \pi \mid z \).
  2. \[ (x + y \omega) - (x + y \omega^{k}) = y \omega (1 - \omega^{k - 1}) \] より, \[ \pi \mid y (1 - \omega^{k - 1}). \] したがって, \[ yp = y (1 - \omega) \cdots (1 - \omega^{k - 1}) \cdots (1 - \omega^{p - 1}) \] より, \[ \pi \mid yp. \]

\( z \) と \( y \) は互いに素であり, \( z \) と \( p \) も互いに素であるから, \( z \) と \( yp \) は互いに素である. したがって, ある \( m \), \( n \in \mathbb{Z} \) に対して

\[ zm + ypn = 1 \]

となるが, これより,

\[ \pi \mid 1. \]

これは矛盾である. \( \Box \)