レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習15

(a) \[ x^{2} = m^{2} - n^{2} \]

より,

\[ x^{2} + n^{2} = m^{2}. \]

\( m \) と \( n \) は互いに素であるから, \( (x,n,m) \) は原始的なピタゴラスの三つ組である. また, \( x \), \( n \), \( m \) は正であり, \( x \) は奇数である. したがって, どちらか一方は偶数である互いに素な正の \( r \) と \( s \) が存在して,

\[ x = r^{2} - s^{2}, \quad n = 2rs, \quad m = r^{2} + s^{2}. \quad \Box \]

(b) \[ m = r^{2} + s^{2} \]

より, \( r \) と \( m \) が共通因子をもてば, それは \( s \) にも共通である. これは \( r \) と \(s \) が互いに素であることに反するので, \( r \) と \( m \) は互いに素である. 同様に, \( s \) と \( m \) も互いに素である. \( r \), \( s \), \( m \) のどの2つも互いに素であり,

\[ y^{2} = 4rsm \]

であるから, ある正の \( a \), \( b \), \( c \) に対して,

\[ r = a^{2}, \quad s = b^{2}, \quad m = c^{2} \]

である. \( \Box \)

(c) \[ m = r^{2} + s^{2} \]

より

\[ c^{2} = a^{4} + b^{4} \]

である.

\[ c \le m < w \quad (\because \, w = m^{2} + n^{2}, \, n > 0) \]

であるから, これは \( w \) の最小性に矛盾する. \( \Box \)

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