レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習14

 I を \( \mathbb{Z}[\omega] \) のイデアルとする. \( I - \{ 0 \} \) の中でノルムが最小の元を \( \alpha \) とする. \( \alpha \) の倍数でない \( \beta \in I \) があるとする. ある \( \gamma \) が存在して, \( \beta \) は下図の平行四辺形の内部に含まれる.

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このとき,

\[ N(\beta - \gamma \alpha) = \left| \beta - \gamma \alpha \right|^{2} \le \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \left| \alpha \right| \right)^{2} = \frac{3}{4} \left| \alpha \right|^{2} = \frac{3}{4} N(\alpha) < N(\alpha). \]

\( 0 \neq \beta - \gamma \alpha \in I \) であるから, これは \( N(\alpha) \) の最小性に矛盾する. したがって, \( \beta \) は \( \alpha \) の倍数である. \( \Box \)

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