レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習13

(1) \[ 1 - \omega = \alpha \beta \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\omega]) \]

とする. 両辺のノルムをとると,

\[ 3 = N(\alpha) N(\beta). \]

これより,

\[ N(\alpha) = 1 \quad \text{または} \quad N(\beta) = 1 \]

であるが, これは

\[ \text{\( \alpha \) が単数} \quad \text{または} \quad \text{\( \beta \) が単数} \]

を意味するので, \( 1 - \omega \) は単数である. \( \Box \)

(2)

\[ \overline{1 - \omega} = 1 - \omega^{2} = (1 + \omega) (1 - \omega) \]

であるから,

\[ 3 = N(1 - \omega) = (1 - \omega) \overline{(1 - \omega)} = (1 + \omega) (1 - \omega)^{2}. \]

 N(1 + \omega) = 1 より, \(1 + \omega \) は単数である. \( \Box \)