レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習12

(1) (a)  \alpha が単数ならば, \( N(\alpha) = 1 \): ある \( \beta \in \mathbb{Z}[\omega] \) に対して,

\[ \alpha \beta = 1. \]

両辺のノルムをとって,

\[ N(\alpha) N(\beta) = 1. \]

\( N(\alpha) \), \( N(\beta) \) は非負の整数であるから, \( N(\alpha) = 1 \). \( \Box \)

(b) \( N(\alpha) = 1 \) ならば, \( \alpha \) は単数: \( \overline{\alpha} \in \mathbb{Z}[\omega] \) で,

\[ \alpha \overline{\alpha} = 1 \]

であるから. \( \Box \)

(2)

\begin{align} N(a + b \omega) = 1 \, &\Longleftrightarrow \, a^{2} - ab + b^{2} = 1 \\ &\Longleftrightarrow \, \left(a - \frac{b}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} = 1 \\ &\Longleftrightarrow \, (2a - b)^{2} + 3 b^{2} = 1. \end{align}

これを解いて,

\[ (a,\, b) = (\pm 1, \, 0),\, (0, \, \pm 1),\, \pm (1, \, 1). \]

したがって, \( \mathbb{Z}[\omega] \) の単数は

\[ \pm 1, \, \pm \omega, \, \pm (1 + \omega) \,(= \pm \omega^{2}) \]

である. \( \Box \)