レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習11

(1) (a) 直接的な計算による解法

\[ \alpha = a + b \omega, \quad \beta = c + d \omega \]

とする. このとき,

\begin{align} \alpha \beta &= ac + (ad + bc) \omega + bd \omega^{2} \\ &= ac + (ad + bc) \omega + bd(-1 - \omega) \\ &= (ac - bd) + (ad + bc - bd) \omega. \end{align}

よって,

\begin{align} N(\alpha \beta) &= (ac - bd)^{2} - (ac - bd)(ad + bc - bd) + (ad + bc - bd)^{2} \\ &= (a^{2} c^{2} - 2abcd + b^{2} d^{2}) \\ & \quad - (a^{2}cd + abc^{2} - abcd - abd^{2} - b^{2}cd + b^{2}d^{2}) \\ & \quad + (a^{2} d^{2} + b^{2}c^{2} + b^{2} d^{2} + 2abcd -2b^{2}cd - 2abd^{2}) \\ &= a^{2} c^{2} - a^{2}cd - abc^{2} + abcd - abd^{2} - b^{2}cd + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} \\ &= a^{2} (c^{2} - cd + d^{2}) - ab (c^{2} - cd + d^{2}) + b^{2} (-cd + c^{2} + d^{2}) \\ &= (a^{2} - ab + b^{2})(c^{2} - cd + d^{2}) \\ &= N(\alpha) N(\beta). \quad \Box \end{align}

(b) 練習10を用いる解法

\[ N(\alpha \beta) = \alpha \beta \cdot \overline{\alpha \beta} = \alpha \overline{\alpha} \cdot \beta \overline{\beta} = N(\alpha) N(\beta). \quad \Box \]

(2) \( \mathbb{Z}[\omega] \) において \( \alpha \mid \gamma \) ならば, ある \( \beta \in \mathbb{Z}[\omega] \) が存在して,

\[ \alpha \beta = \gamma \]

である. 両辺のノルムをとって,

\[ N(\alpha) N(\beta) = N(\gamma). \]

したがって, \( \mathbb{Z} \) において \( N(\alpha) \mid N(\gamma) \) である. \( \Box \)

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