レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習10

 \DeclareMathOperator{\re}{Re}

\[ \omega + \overline{\omega} = 2 \re \omega = -1 \]

であるから,

\begin{align} (a + b \omega) \overline{(a + b \omega)} &= (a + b \omega) (a + b \overline{\omega} ) \\ &= a^{2} + ab(\omega + \overline{\omega}) + b^{2} \\ &= a^{2} - ab + b^{2} \\ &= N(a + b \omega). \end{align}

したがって,

\[ N(u + vi) = (u + vi) \overline{(u + vi)} = (u + vi) (u - vi) = u^{2} + v^{2}. \quad \Box \]

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