レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習8

(a) 巡回群  \mathbb{Z}_{p}^{*} の生成元を \( r \bmod p \) とする.

\[ n := r^{\frac{p-1}{4}} \]

とおくと,

\[ \left( n^{2} \right)^{2} = n^{4} = r^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

であるので,

\[ n^{2} \equiv \pm 1 \pmod{p} \]

である. \( r \bmod p \) は  \mathbb{Z}_{p}^{*} の生成元であったので,

\[ n^{2} = r^{\frac{p-1}{2}} \not\equiv 1 \pmod{p}. \]

したがって, \( n^{2} \equiv -1 \pmod{p} \) である. \( \Box \)

(b) \( p \) が \( \mathbb{Z}[i] \) において既約とすれば,

\[ p \mid n^{2} + 1 = (n + i) (n - i) \]

より,

\[ p \mid n + i \quad \text{または} \quad p \mid n-i. \]

どちらにしても, \( p \mid 1 \) となり矛盾である. したがって, \( p \) は \( \mathbb{Z}[i] \) において既約でない. \( \Box \)

(c) (b) より, 単数でない \( a+bi \), \( c+di \) が存在して,

\[ p = (a+bi)(c+di) \]

である. 両辺のノルムをとると,

\[ p^{2} = (a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}). \]

したがって,

\[ a^{2} + b^{2} = 1, \, p, \, p^{2} \]

である. しかし, \( a^{2} + b^{2} \neq 1 \), \( c^{2} + d^{2} \neq 1 \) であるから,

\[ a^{2} + b^{2} = p \]

でなければならない. これで示された. \( \Box \)

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