レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習7

 \alpha \in I - \{ 0 \} のうち, \( N(\alpha) \) が最小であるものをとる. \( \beta \in I \) とし, \( \beta \) は \( \alpha \) の倍数ではないとする. ある \( \gamma \in \mathbb{Z}[i] \) が存在して, \( \beta \) は下図の正方形の内部に含まれる.

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このとき,

\[ N(\beta - \gamma \alpha) = \left| \beta - \gamma \alpha \right|^{2} \le \left( \frac{\left| \alpha \right|}{\sqrt{2}} \right)^{2} = \frac{\left| \alpha \right|^{2}}{2} < \left| \alpha \right|^{2} = N(\alpha). \]

\( 0 \neq \beta - \gamma \alpha \in I \) であるから, これは \( N(\alpha) \) の最小性に反する. したがって, 任意の \( \beta \in I \) は \( \alpha \) の倍数である. \( \Box \)