レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習6

 N(\alpha) = 2 とする. 練習3より \( \alpha \) は既約である. したがって, \( \alpha \) は既約元の積である.

\( N(\alpha) > 2 \) とする. \( \alpha \) が既約ならば, 既約元の積である. \( \alpha \) は既約でないとする. このとき,

\[ \alpha = \beta \gamma \]

となる単数でない \( \beta, \gamma \in \mathbb{Z}[i] \) が存在する. 両辺のノルムをとると,

\[ N(\alpha) = N(\beta) N(\gamma) \]

であるが, \( N(\alpha) \neq 1 \), \( N(\beta) \neq 1 \) であるから,

\[ N(\beta) < N(\alpha), \quad N(\gamma) < N(\alpha) \]

が成り立つ. 帰納法の仮定により \( \beta \), \( \gamma \) は既約元の積であるので, \( \alpha = \beta \gamma \) も既約元の積である. \( \Box \)

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