レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習4

(1)  \[ 1-i = \alpha \beta \quad (\alpha,\, \beta \in \mathbb{Z}[i]) \] とする. 両辺のノルムをとると, \[ 2 = N(\alpha) N(\beta) \] である. したがって, \[ N(\alpha) = 1 \quad \text{または} \quad N(\beta) = 1 \] が成り立ち, \( 1-i \) が既約であると分かる. \( \Box \)

(2) \[ 2 = (1+i)(1-i) \] であるが, \[ 1+i = i (1-i) \] であるので, \[ 2 = u(1-i)^{2}, \quad u = i \] である. \( \Box \)

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