勉☆強☆し☆な☆い

タイトルテスト中

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習3

(1)

\[ \alpha = \beta \, \gamma \quad (\beta , \, \gamma \in \mathbb{Z}[i]) \]

とする. このとき,

\[ N(\alpha) = N(\beta) \, N(\gamma) \]

であるが, \( N(\alpha) \) は素数なので,

\[ N(\beta) = 1 \text{ または } N(\gamma) = 1 \]

である. これより, \( \beta \), \( \gamma \) のどちらかは単数となる. したがって, \( \alpha \) は既約である. \( \Box \)

(2) 整数 \(a \), \( b \) に対して,

\[ a^{2} + b^{2} \not\equiv 3 \bmod 4 \]

である. したがって, \( \alpha \in \mathbb{Z}[i] \) に対して,

\[ N(\alpha) \not\equiv 3 \bmod 4 \]

である.

\[ \alpha = \beta \, \gamma \quad (\beta , \, \gamma \in \mathbb{Z}[i]) \]

とする. このとき,

\[ p^{2} = N(\alpha) = N(\beta) \, N(\gamma) \]

であるが, 上の事実より,

\[ N(\beta) \neq p, \quad N(\gamma) \neq p \]

であるので,

\[ N(\beta) = 1 \text{ または } N(\gamma) = 1 \]

が成り立つ. したがって, \( \alpha \) は既約である. \( \Box \)