レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習2

(1) \( \Rightarrow ) \)  \alpha が単数ならば, ある \( \beta \in \mathbb{Z}[i] \) が存在して,

\[ \alpha \beta = 1. \]

したがって,

\[ N(\alpha) N(\beta) = 1 \]

であるが, \( N(\alpha) \), \( N(\beta) \) は非負の整数であるから, \( N(\alpha) = N(\beta) = 1 \). \( \Box \)

\( \Leftarrow ) \) \( N(\alpha) = 1 \) より,

\[ \alpha \, \overline{\alpha} = 1. \]

したがって, \( \alpha \) は単数である. \( \Box \)

(2) \( \alpha = a + bi \in \mathbb{Z}[i] \) に対して,

\begin{align} N(\alpha) = 1 \, &\Longleftrightarrow \, a^{2} + b^{2} = 1 \\ \, &\Longleftrightarrow \, (a,b) = (\pm 1, 0), \, (0, \pm 1) \\ \, &\Longleftrightarrow \, \alpha = \pm 1, \, \pm i. \quad \Box \end{align}

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