勉☆強☆し☆な☆い

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Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習1

(1) (a) 直接的な計算による解法.

\[ \alpha = a + bi,\,\, \beta = c + di \]

とおくと,

\[ \alpha \beta = (ac - bd) + (ad + bc)i. \]

これより,

\begin{align} N(\alpha \beta) &= (ac - bd)^{2} + (ad + bc)^{2} \\ &= (ac)^{2} + (bd)^{2} + (ad)^{2} + (bc)^{2} \\ &= (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \\ &= N(\alpha) N(\beta). \quad \Box
\end{align}

(b)  N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) を用いた解法.

\[ N(\alpha \beta) = \alpha \beta \cdot \overline{\alpha \beta} = \alpha \beta \cdot \overline{\alpha} \overline{\beta} = \alpha \overline{\alpha} \cdot \beta \overline{\beta} = N(\alpha) N(\beta). \quad \Box \]

(2) \( \mathbb{Z} [i] \) において  \alpha \mid \gamma とする. このとき, ある \( \beta \in \mathbb{Z}[i] \) が存在して,

\[ \alpha \beta = \gamma. \]

(1) より,

\[ N(\alpha) N(\beta) = N(\gamma) \]

であるから,  \mathbb{Z} において  N(\alpha) \mid N(\gamma).  \quad \Box