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アポロニアン・ガスケットの描き方(14) ー 第 n 世代の円

第 n−1 世代(n≧2)の円まで描き終えたとして, 第 n 世代の円の描き方を考えましょう.

第 n−1 世代の1つの円 En-1 に注目します. 円 En-1 はある第 n−2 世代の隙間の中に描かれたはずなので, 次の図のような状況になっていなければなりません.

この図から, 円 En-1 に接する第 n−2 世代以前の円がちょうど3つあることが分かります. 図で F, G, H と記されているものです.

第 n−2 世代の隙間 S の中にある第 n−1 世代の3つの隙間 T, U, V の内側には, それぞれ第 n 世代の円 Fn, Gn, Hn が描かれます:

(#)
  • 円 Fn : 3円 En-1, G, H に接する2円のうち円 F でない方
    円Fn (3円 En-1, G, H に直交する円による円 F の反転)
  • 円Gn : 3円 En-1, F, H に接する2円のうち円 G でない方
    円Gn (3円 En-1, F, H に直交する円による円 G の反転)
  • 円Hn : 3円 En-1, F, G に接する2円のうち円 H でない方
    円Hn (3円 En-1, F, G に直交する円による円 H の反転)

第 n−1 世代の1つの円 En-1 から3つの第 n 世代の円 Fn, Gn, Hn を得ました. これと同じことを第 n−1 世代の円全てに対して行えば, 全ての第 n−1 世代の隙間に円が描かれます. 第 n−1 世代の隙間に描かれるのが第 n 世代の円ですから, 第 n 世代の円が全て描かれたことになります.

まとめ

第 n 世代の円を描く手順をまとめると, 次のようになります:

  1. 第 n−1 世代の円 En-1 を1つ選ぶ.
  2. 円 En-1 に接する第 n−2 世代以前の3つの円 F, G, H を見付ける.
  3. (#)によって決まる第 n 世代の円 Fn, Gn, Hn を描く.
  4. 第 n−1 世代の全ての円に対して, 上の 1, 2, 3 を繰り返す.

(ステップ 2 における円 F, G, H の見付け方に具体性がありませんが, この点は次回解消されます.)

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