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アポロニアン・ガスケットの描き方(11.5) ー 円の接線

前回の記事で, 次の事実を用いました.

点 P0(x0, y0) を円 C: x2 + y2 = r2 上の点とするとき, 点 P0 における円 C の接線  \ell は, 方程式

\[ \ell \, \colon \, x_0 x + y_0 y = r^{2} \]

で表される.
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今回の記事では, この事実を証明したいと思います.

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点 P0 における円 C の接線  \ell は,

  • 点 P0 を通り,
  • ベクトル  \overrightarrow{\mathrm{OP}_0} = (x0, y0) に直交する

直線です.

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したがって, 接線  \ell は, ベクトル方程式

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}_0} \cdot \overrightarrow{\mathrm{P}_0 \mathrm{P}} = 0 \]

をみたす点 P(x, y) の集まりです. この方程式を座標を用いて書くと,

\[ (x_0, y_0) \cdot (x-x_0, y-y_0) = 0, \]

\[ x_0 (x-x_0) + y_0 (y-y_0) = 0, \]

\[ x_0 x + y_0 y = x_0^{2} + y_0^{2} \tag{#} \]

となります.

ところで, 点 P0(x0, y0) は円 C: x2 + y2 = r2 上の点でした. したがって, x02 + y02 = r2 が成り立ちます.

これを上の式(#)に代入しましょう. そうすると, 目的の方程式

\[ \ell \, \colon \, x_0 x + y_0 y = r^{2} \]

 

が得られます.