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アポロニアン・ガスケットの描き方(11) ー 4つの反転円(4)

反転円 A’, B’, C’ (別の求め方)

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反転円 A’, B’, C’ の中心と半径を「アポロニアン・ガスケットの描き方(10) ー 4つの反転円(3)」において求めました. そこでは, 円 A’, B’, C’ が三角形の傍接円であることを用いましたが, これらの円の中心と半径は, また別の方法で求めることも可能です. 本記事では, 円 A’ についてその方法を説明したいと思います.

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円 A’ が2点 B0, C0 を通り, 円 D に直交する円であったことを思い出しましょう.

2つの接線の方程式

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円 A’ の中心は, 円 D の2つの接線  \ell m の交点です. 点(x0, y0)における円 D: x2 + y2 = r2 の接線の方程式は,

\[ x_0 x + y_0 y = r^{2} \]

であるので, 接線  \ell m の方程式は,

\begin{align} \ell \colon \, &(\cos\beta) x + (\sin\beta) y = r, \\[0.5em] m \colon \, &(\cos\gamma) x + (\sin\gamma) y = r \end{align}

により与えられます.

円 A’ の中心

上の連立1次方程式を解くと, 円 A’ の中心が求まります:

\[ \begin{vmatrix} \cos\beta & \sin\beta \\ \cos\gamma & \sin\gamma \end{vmatrix} = \cos\beta \sin\gamma - \sin\beta \cos\gamma = \sin(\gamma - \beta) \]

より,

\begin{align} \mathrm{A}'_x &= \frac{ \begin{vmatrix} r & \sin\beta \\ r & \sin\gamma \end{vmatrix} }{\sin(\gamma - \beta)} = \frac{r(\sin\gamma - \sin\beta)}{\sin(\gamma - \beta)} = r \cdot \frac{\sin\beta - \sin\gamma}{\sin(\beta - \gamma)}, \\[0.5em] \mathrm{A}'_y &= \frac{ \begin{vmatrix} \cos\beta & r \\ \cos\gamma & r \end{vmatrix} }{\sin(\gamma - \beta)} = \frac{r(\cos\beta - \cos\gamma)}{\sin(\gamma - \beta)} = -r \cdot \frac{\cos\beta - \cos\gamma}{\sin(\beta - \gamma)}. \end{align}

(クラメルの公式を用いましたが, 変数を消去して解いても簡単に求まります.)

円 A’ の半径

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円 A’ の半径は線分 A’B0 の長さなので,

\begin{align} {r_{\mathrm{A}'}}^{2} & = r^{2} \left( \frac{\sin\beta - \sin\gamma}{\sin(\beta - \gamma)} - \cos\beta \right)^{2} + r^{2} \left( \frac{-\cos\beta + \cos\gamma}{\sin(\beta - \gamma)} - \sin\beta \right)^{2} \\[0.5em] &= r^{2} \cdot \frac{\bigl\{ \sin\beta - \sin\gamma - \cos\beta\sin(\beta - \gamma) \bigr\}^{2} + \bigl\{ -\cos\beta + \cos\gamma - \sin\beta\sin(\beta - \gamma) \bigr\}^{2}}{\sin^{2}(\beta - \gamma)} \end{align}

が成り立ちます. 分数式の分子を展開して計算すると,

\[ \text{分子} = \bigl\{\, 1 - \cos(\beta - \gamma) \,\bigr\}^{2} \]

が得られるので, 円 A’ の半径は,

\[ r_{\mathrm{A}'} = r \cdot \left| \frac{1 - \cos(\beta - \gamma)}{\sin(\beta - \gamma)} \right| \]

と求まります.

複素数を用いると, オイラーの公式  e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta が使えて, 計算が少し楽になります:

\begin{align} \mathrm{A}' &\colon \,\, r \left( \frac{\sin\beta - \sin\gamma}{\sin(\beta - \gamma)} - i \frac{\cos\beta - \cos\gamma}{\sin(\beta - \gamma)} \right) = \frac{-ir}{\sin(\beta - \gamma)} \left( e^{i\beta} - e^{i\gamma} \right), \\[0.5em] \mathrm{B}_0 &\colon \,\, r(\cos\beta + i\sin\beta) = re^{i\beta} \end{align}

より,

\begin{align} r_{\mathrm{A}'} &= \left| \, re^{i\beta} + \frac{ir}{\sin(\beta - \gamma)} \left( e^{i\beta} - e^{i\gamma} \right) \, \right| \\[0.5em] &= \left| \frac{ire^{i\beta}}{\sin(\beta - \gamma)} \right| \cdot \left| -i \sin(\beta - \gamma) + \left( 1 - e^{i(\gamma - \beta)} \right) \right| \\[0.5em] &= \left| \frac{r}{\sin(\beta - \gamma)} \right| \cdot \bigl| -i \sin(\beta - \gamma) + 1 - \cos(\gamma - \beta) - i \sin(\gamma - \beta) \bigr| \\[0.5em] &= r \cdot \left| \frac{1 - \cos(\beta - \gamma)}{\sin(\beta - \gamma)} \right|. \end{align}

まとめ

反転円 A’, B’, C’ の中心と半径は以下の式で与えられます:

\[ (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) = r \left( \frac{\sin\beta - \sin\gamma}{\sin(\beta - \gamma)}, - \frac{\cos\beta - \cos\gamma}{\sin(\beta - \gamma)} \right), \quad r_{\mathrm{A}'} = r \cdot \left| \frac{1 - \cos(\beta - \gamma)}{\sin(\beta - \gamma)} \right|, \]

\[ (\mathrm{B}'_x, \mathrm{B}'_y) = r \left( \frac{\sin\gamma - \sin\alpha}{\sin(\gamma - \alpha)}, - \frac{\cos\gamma - \cos\alpha}{\sin(\gamma - \alpha)} \right), \quad r_{\mathrm{B}'} = r \cdot \left| \frac{1 - \cos(\gamma - \alpha)}{\sin(\gamma - \alpha)} \right|, \]

\[ (\mathrm{C}'_x, \mathrm{C}'_y) = r \left( \frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}, - \frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin(\alpha - \beta)} \right), \quad r_{\mathrm{C}'} = r \cdot \left| \frac{1 - \cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} \right|. \]