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アポロニアン・ガスケットの描き方(10.5) ー 傍接円

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前回の補足です. 三角形の傍接円の中心と半径を求めましょう. 議論は内接円の場合(アポロニアン・ガスケットの描き方(9.5) ー 内接円)と平行です.

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以下, 点 A, B, C の位置ベクトルを  \overrightarrow{a},  \overrightarrow{b},  \overrightarrow{c} で表します.

の二等分線
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平面上の任意の点 P に対して, その位置ベクトルは,

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b} + m \overrightarrow{c}, \quad k+l+m = 1 \]

という形に一意的に表されます. このとき, 角 A の二等分線は,

\[ l \,\colon\, m = b \,\colon\, c \]

により与えられます.

角の二等分線
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平面上の点 P を

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b} + m \overrightarrow{c}, \quad k+l+m = 1 \]

と表示するとき, 角 B の外角の二等分線は,

\[ k \,\colon\, m = -a \,\colon\, c \]

により与えられます. これは次の事実から導かれます: 角 B の外角の二等分線は, パラメータ t を用いて,

\[ \overrightarrow{\mathrm{BP}} = t \left( -\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}{c} + \frac{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{a} \right) \]

と表される.

接円の中心
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辺 BC に接する傍接円の中心は,

  • 角 A の二等分線,
  • 角 B の外角の二等分線,
  • 角 C の外角の二等分線,

のどれもに乗っている点です. 点 P を

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b} + m \overrightarrow{c}, \quad k+l+m = 1 \]

と表示しておけば,

\[ k \,\colon\, l = -a \,\colon\, b, \quad l \,\colon\, m = b \,\colon\, c, \quad k \,\colon\, m = -a \,\colon\, c \]

をみたす点ということになります. そのような k, l, m は,

\[ k = \frac{-a}{-a+b+c}, \quad l = \frac{b}{-a+b+c}, \quad m = \frac{c}{-a+b+c} \]

と求まるので, 辺 BC に接する傍接円の中心は,

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{-a}{-a+b+c} \overrightarrow{a} + \frac{b}{-a+b+c} \overrightarrow{b} + \frac{c}{-a+b+c} \overrightarrow{c} \]

で与えられます.

接円の半径
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三角形 ABC の面積を S とすると,

\begin{align} S &= \triangle \mathrm{P C A} + \triangle \mathrm{P A B} - \triangle \mathrm{P B C} \\[0.5em] &= \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr - \frac{1}{2}ar \\[0.5em] &= \frac{-a+b+c}{2} \cdot r \end{align}

が成り立つので, 辺 BC に接する傍接円の半径は,

\[ r = \frac{2S}{-a+b+c}\]

と求まります.