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アポロニアン・ガスケットの描き方(10) ー 4つの反転円(3)

反転円 A’, B’, C’

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2点 B0, C0 を通り円 D に直交する円を A’ とします. (円 D’ のときと同じ理由により, 円 A’ は点 P を通ります.)

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円 A’ は三角形 BCD と次のような関係にあります:

  • 辺 BC と点 P で接している.
  • 辺 DB の延長と点 B0 で接している.
  • 辺 DC の延長と点 C0 で接している.

このような円は, 一般に, 三角形の傍接円と呼ばれます. 円 A’ は三角形 BCD の傍接円というわけです.

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傍接円の中心と半径を求める公式によれば, 円 A’ の中心と半径は, 三角形 BCD の面積を S として, 次のように表されます:{}

\begin{align} (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) &= \frac{b}{b+c-d} (\mathrm{B}_x, \mathrm{B}_y) + \frac{c}{b+c-d} (\mathrm{C}_x, \mathrm{C}_y) + \frac{-d}{b+c-d} (\mathrm{D}_x, \mathrm{D}_y),\\[0.5em] r_{\mathrm{A}'} &= \frac{2S}{b+c-d}. \end{align}

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三角形 BCD の頂点の座標と辺の長さが上図のように与えられているので(r は円 D の半径です), 実際にこれらを代入して計算してみましょう:

\[ b+c-d = (r-r_{\mathrm{C}}) + (r-r_{\mathrm{B}}) - (r_{\mathrm{B}}+r_{\mathrm{C}}) = 2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}}) \]

より,

\begin{align} (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) &= \frac{r-r_{\mathrm{C}}}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} \cdot (r-r_{\mathrm{B}}) (\cos \beta, \sin \beta) + \frac{r-r_{\mathrm{B}}}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} \cdot (r-r_{\mathrm{C}}) (\cos \gamma, \sin \gamma) \\[0.5em] &= \frac{(r-r_{\mathrm{B}}) (r-r_{\mathrm{C}})}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} (\cos \beta + \cos \gamma,\, \sin \beta + \sin \gamma),\\[0.5em] r_{\mathrm{A}'} &= \frac{(r-r_{\mathrm{B}}) (r-r_{\mathrm{C}})}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} \left| \sin \theta \right|. \end{align}

余弦定理を用いて, 共通の因子 (r-r)(r-r) / 2(r-r-r) を簡単にすることができます:

\[ (r_{\mathrm{B}} + r_{\mathrm{C}})^{2} = (r - r_{\mathrm{B}})^{2} + (r - r_{\mathrm{C}})^{2} - 2(r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]

\[ 2 r_{\mathrm{B}} r_{\mathrm{C}} = 2 r^{2} - 2 r r_{\mathrm{B}} - 2 r r_{\mathrm{C}} - 2(r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]

\[ r_{\mathrm{B}} r_{\mathrm{C}} = r^{2} - r r_{\mathrm{B}} - r r_{\mathrm{C}} - (r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]

\[ (r - r_{\mathrm{B}}) (r - r_{\mathrm{C}}) - (r^{2} - r r_{\mathrm{B}} - r r_{\mathrm{C}}) = (r^{2} - r r_{\mathrm{B}} - r r_{\mathrm{C}}) - (r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]

\[ (r - r_{\mathrm{B}}) (r - r_{\mathrm{C}}) (1 + \cos \theta) = 2r(r - r_{\mathrm{B}} - r_{\mathrm{C}}), \]

\[ \frac{(r - r_{\mathrm{B}}) (r - r_{\mathrm{C}})}{2(r - r_{\mathrm{B}} - r_{\mathrm{C}})} = \frac{r}{1 + \cos \theta}. \]

よって,

\begin{align} (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) &= \frac{r}{1 + \cos \theta} (\cos \beta + \cos \gamma,\, \sin \beta + \sin \gamma) = r \left( \frac{\cos \beta + \cos \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)}, \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)} \right), \\[0.5em] r_{\mathrm{A}'} &= \frac{r}{1 + \cos \theta} \left| \sin \theta \right| = r \, \left| \frac{\sin(\beta - \gamma)}{1 + \cos(\beta-\gamma)} \right| \end{align}

です.

文字を入れ換えると円 B’, C’ についての結果も得られ, これらをまとめると,

\[ (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) = r \left( \frac{\cos \beta + \cos \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)}, \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)} \right), \quad r_{\mathrm{A}'} = r \, \left| \frac{\sin(\beta - \gamma)}{1 + \cos(\beta-\gamma)} \right|, \]

\[ (\mathrm{B}'_x, \mathrm{B}'_y) = r \left( \frac{\cos \gamma + \cos \alpha}{1 + \cos (\gamma-\alpha)}, \frac{\sin \gamma + \sin \alpha}{1 + \cos (\gamma-\alpha)} \right), \quad r_{\mathrm{B}'} = r \, \left| \frac{\sin(\gamma - \alpha)}{1 + \cos(\gamma-\alpha)} \right|, \]

\[ (\mathrm{C}'_x, \mathrm{C}'_y) = r \left( \frac{\cos \alpha + \cos \beta}{1 + \cos (\alpha-\beta)}, \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{1 + \cos (\alpha-\beta)} \right), \quad r_{\mathrm{C}'} = r \, \left| \frac{\sin(\alpha - \beta)}{1 + \cos(\alpha-\beta)} \right| \]

となります.