レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

アポロニアン・ガスケットの描き方(9.5) ー 内接円

前回の補足です. 三角形の内接円の中心と半径を求めましょう.

つのベクトルによる点の表示

f:id:sekibunta:20150208132124p:plain

3点 A, B, C は同一直線上にはないものとし,{}

\[ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \quad \overrightarrow{b} = \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \quad \overrightarrow{c} = \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]

と置きます. このとき, 平面上の任意の点 P に対して, その位置ベクトルは,

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b} + m \overrightarrow{c}, \quad k+l+m = 1 \]

という形に一意的に表されます. (これは次の事実から示されます:  \overrightarrow{\mathrm{AP}} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \overrightarrow{\mathrm{AC}} の線型結合として一意的に表される.)

の二等分線

f:id:sekibunta:20150207014045p:plain

平面上の点 P に対して,

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b} + m \overrightarrow{c}, \quad k+l+m = 1 \]

とします. このとき, 点 P が角 A の二等分線上にいる必要十分条件は,

\[ l \,\colon\, m = b \,\colon\, c \]

で与えられます. 角 A の二等分線が, パラメータ t を用いて,

\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} = t \left( \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{c} + \frac{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{b} \right) \]

と表されることに注意すれば, 証明できるでしょう.

接円の中心

f:id:sekibunta:20150207014105p:plain

三角形 ABC の内接円の中心は, 角 A, 角 B, 角 C, それぞれの二等分線のどれもに乗っている点です. 点 P を

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b} + m \overrightarrow{c}, \quad k+l+m = 1 \]

と表示しておけば,

\[ k \,\colon\, l = a \,\colon\, b, \quad l \,\colon\, m = b \,\colon\, c, \quad k \,\colon\, m = a \,\colon\, c \]

をみたす点ということになります. そのような k, l, m は,

\[ k = \frac{a}{a+b+c}, \quad l = \frac{b}{a+b+c}, \quad m = \frac{c}{a+b+c} \]

と求まるので, 内接円の中心は

\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{a}{a+b+c} \overrightarrow{a} + \frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{b} + \frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{c} \]

で与えられます.

接円の半径

f:id:sekibunta:20150207014123p:plain

三角形 ABC の面積を S とし, 内接円の半径を r とします. このとき,

\begin{align} S &= \triangle \mathrm{P B C} + \triangle \mathrm{P C A} + \triangle \mathrm{P A B} \\[0.5em] &= \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr \\[0.5em] &= \frac{a+b+c}{2} \cdot r \end{align}

が成り立つので, 内接円の半径は,

\[ r = \frac{2S}{a+b+c}\]

と求まります.