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アポロニアン・ガスケットの描き方(9) ー 4つの反転円(2)

反転円 D’

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2点 P, Q を通り, 円 C に直交する円を D’ とします(前々回述べたように, そのような円はただ1つだけ存在します). 円 D’ は円 A, B にも直交しています. 円 A, B は反転円 D’ に関する反転によってそれぞれ自分自身に写るので, その共通部分上にいる点 R は, 反転後にもその共通部分上にいます. すなわち, 点 R は円 D’ に関する反転によって動きません. これより, 点 R が円 D’ 上の点であると分かります.

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線分 AB, BC, CA は, それぞれ点 R, 点 P, 点 Q で円 D’ に接します. したがって, 円 D’ は三角形 ABC の内接円です. よって, その中心と半径は, 三角形 ABC の面積を S とすると, {}

\begin{align} (D'_x, D'_y) &= \frac{a}{a+b+c} (A_x, A_y) + \frac{b}{a+b+c} (B_x, B_y) + \frac{c}{a+b+c} (C_x, C_y),\\[0.5em] r_{D'} &= \frac{2S}{a+b+c} \end{align}

により与えられます. 面積 S は,

\begin{align} S &= \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} B_x - A_x & B_y - A_y \\ C_x - A_x & C_y - A_y \\ \end{pmatrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| (B_x - A_x)(C_y - A_y) - (B_y - A_y)(C_x - A_x) \right|, \end{align}

またはヘロンの公式

\[ S^{2} = s(s-a)(s-b)(s-c), \quad s = \frac{a+b+c}{2} \]

を用いて計算できます.