レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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アポロニアン・ガスケットの描き方(7) ー 円の反転(2)

等角性により, 円の反転に関して, 次の2つのことが成り立ちます.

  1. 互いに接する2円は, 反転によって互いに接する2円に写る.
  2. 反転円に直交する円は, 反転によって自分自身に写る.

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以下は, その理由についてです.

について

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2曲線 C _{1} と C _{2} が点 P において交わっているとします. この2曲線が点 P においてなす角とは, それぞれの接線  \ell_1 \ell_2 が点 P においてなす角のことです( \pi/2 以下とすると, 一意的に定まります).

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「2曲線 C _{1} と C _{2} が点 P において接する」というのは, 「点 P におけるそれぞれの接線が等しい」ということです. これは, 「2曲線 C _{1} と C _{2} のなす角が 0」と言い換えられます.

反転は2曲線のなす角を保存するので,「接する」という状況も保存します.

について

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円 I 上の1点 A を通り, 点 A において円 I に直交する円を考えます. そのような円の中心 C は, 点 A における円 I の接線  \ell_A 上になければなりません.

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円 I 上の2点 A, B を通り, 円 I に直交する円を考えます. そのような円の中心 C は, 接線  \ell_A \ell_B の交点でなければなりません. また, 半径は CA(= CB)でなければなりません. したがって, 「円 I 上の2点 A, B を通り, 円 I に直交する円」はただ1つだけ存在します.

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さて, 改めて反転円 I に直交する円 C を考え, その交点を A, B とします. 円 C を反転させた円 C’ は, 反転の等角性により, 円 I と直交します(円 I は反転により動きません). また, 円 C’ は2点 A, B を通ります. 上での考察によれば, そのような円はただ1つしか存在しません. つまり, 円 C と円 C’ は同じ円です.

円 C は反転によって, 自分自身に写ります.