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アポロニアン・ガスケットの描き方(6) ー 円の反転(1)

円円対応によれば, 反転は円を円または直線に写します.

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本記事では, 左側の「反転円の中心 I を通らない場合」を考えます. 円 C の中心と半径から円 C’ の中心と半径を求めることが目標です.

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まず,  {}

\[ \overrightarrow{\mathrm{IQ'}} = \mathrm{IQ'} \cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{IQ}}}{\mathrm{IQ}} = \left( \frac{r_I}{\mathrm{IQ}} \right)^{2} \, \overrightarrow{\mathrm{IQ}} \]

\[ \left(\, \because \; \mathrm{IQ} \cdot \mathrm{IQ'} = r_I^{2} \,\right) \]

に注意しておきます.

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円の中心が円の中心に写るわけではないので, 点 C’ は点 A’ と点 B’ の中点として求めます.

\[ \overrightarrow{\mathrm{IA'}} = \left( \frac{r_I}{\mathrm{IA}} \right)^{2} \, \overrightarrow{\mathrm{IA}} = \left( \frac{r_I}{d-r} \right)^{2} \cdot \frac{d-r}{d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} = \frac{r_I^{2}}{(d-r)d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}}, \]

\[ \overrightarrow{\mathrm{IB'}} = \left( \frac{r_I}{\mathrm{IB}} \right)^{2} \, \overrightarrow{\mathrm{IB}} = \left( \frac{r_I}{d+r} \right)^{2} \cdot \frac{d+r}{d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} = \frac{r_I^{2}}{(d+r)d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} \]

より,

\[ \overrightarrow{\mathrm{IC'}} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{\mathrm{IA'}} + \overrightarrow{\mathrm{IB'}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{d-r} + \frac{1}{d+r} \right) \frac{r_I^{2}}{d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} = \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}}. \]

半径 r’ については,

\[ \mathrm{IA'} = \frac{r_I^{2}}{(d-r)d} \mathrm{IC} = \frac{r_I^{2}}{d-r}, \]

\[ \mathrm{IB'} = \frac{r_I^{2}}{(d+r)d} \mathrm{IC} = \frac{r_I^{2}}{d+r} \]

より,

\[ r' = \frac{1}{2} (\mathrm{IA'} - \mathrm{IB'}) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{d-r} - \frac{1}{d+r} \right) \, r_I^{2} = \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} r.\]

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d < r の場合は分けて考える必要がありますが, 計算はほとんど同じなので省略します. 結果は r’ の符号が変わるだけです. 両者まとめて,

\[ \overrightarrow{\mathrm{IC'}} = \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}}, \]

\[ r' = \left| \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} \right| \, r \]

と書くことができます.