レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (1)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\m}{m_{\alpha}} \)\( \a \in \C\) に対して, 写像 \[ \m \colon \C \to \C, \quad z \mapsto \a z \] は複素線形写像である: \…

弧状連結空間は連結である

\( \newcommand{\g}{\gamma} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \) 弧状連結な位相空間は連結です. 弧状連結ってなに? \( \to \) 以下が定義です. 位相空間 \( X \) が弧状連結であるとは, 任意の \( x \), \( y \in X \) に対して, \( x \) を始点とし \( y \…

1 点を共有する連結空間の和も連結である

\( \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\Sl}{S_{\l}} \newcommand{\belong}{{\l \in \L}} \) \( X \) を位相空間とし, \( \Sl \) \( (\l \in \L) \) を \[ X = \bigcup_{\l \in \L} \Sl \] なる \( X \) の部分集合族とする. 各…

連結空間の連続写像による像も連結

\( \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \) \( X \) と \( Y \) を位相空間とし, \( f \colon X \to Y \) を連続な全射とする. \( X \) が連結ならば, \( Y \) も連結である. 証明. 記号 \( \sqcup \) は直和. \[ Y = U \sqcup V, \quad \text{\(U\), \(V\) は開}…

閉区間の連結性

\( \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\ab}{[a,b]} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)閉区間 \( \ab \) は連結です. \( a \), \( b \) は \( a この事実は実数直線 \(\R\) の連結性から従うのですが, それを少し丁寧に書いてみます. 記号 \( \sqcup \) は直…

幾何学的ペーパークラフト

こちらで写真が見れます。

実数直線の連結性

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\p}{\partial} \)補題から. 以下ずっと, 記号 \( \sqcup \) は直和です. 補題. \( X \) を位相空間とする. \( A \su…

中間値の定理

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\m}{\mu} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \)\( X \) は連結な位相空間, \( f \colon X \to \R \) は連続な写像とする. \( \a \( \a \) と \( \b \) という値を…

位相の基礎概念(内部、外部、境界、閉包、触点、集積点、孤立点)

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand{\i}{\Int A} \newcommand{\e}{\Ext A} \newcommand{\b}{\partial A} \newcommand{\c}{\overline{A}} \)\( A \) を位相空間 \( X \) の部分集合とする. このとき, \( X \) …

IEEE 754 浮動小数点数

\( \DeclareMathOperator{\Inf}{Inf} \DeclareMathOperator{\NaN}{NaN} \)倍精度浮動小数点数(64 ビット): \[ s E_1 \cdots E_{11} d_1 \cdots d_{52} = (-1)^s \times (1. d_1 \cdots d_{52})_2 \times 2^{E - 1023}, \quad E = (E_1 \cdots E_{11})_2. …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習20

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \)\( f(x) \in K[x] \) は既約なので, 重根をもたない. \( f(x) \) の \( \C \) における根を, \( \a \), \( \b_1 \), \( \ldots \), \( \b_n \) \( (n \ge 0) \) とし, \[ …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習19

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \)\( f(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} + x^n \in R[x] \), \( n \ge 1 \) に対して, \begin{ali…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習18

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \) \[ \s \t = \sd \td \] とする. \( \a \in L\) に対して, \[ \s \t (\a) = \sd \td (\a) \] であるが, \( \t…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習17

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \)\( \a \in L \) とする. \( [L:K[\a]] = m \) とし, \( [K[\a]:K] = l \) とす…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習16

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\rt}{\sqrt{3}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \new…

最大公約多項式、最小公倍多項式と体の拡大

\( \newcommand{\Kx}{K[x]} \newcommand{\Lx}{L[x]} \) 気になって考えたので, メモ. 問い. \( K \subset L \) を体の拡大とし, \[ f(x), g(x) \in \Kx \] とする. これらの最大公約多項式は, \( \Kx \) の中で考えた場合と \( \Lx \) の中で考えた場合で異…

多変数の多項式環

\( \newcommand{\RX}{R[X]} \newcommand{\p}{\varphi} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\t}{\tau} \) 多変数の多項式環の定式化も, 一変数の場合と同じようにしてできるので, やってみます. 定義. \( X = \{ x_1, \ldots, x_n \} \) \( (n \ge 1) \) を…

多項式環の普遍性

\( \newcommand{\Rx}{R[x]} \newcommand{\p}{\varphi} \DeclareMathOperator{\id}{id} \) \( R \) を可換環とする. \( S \) を \( R \) 代数とし, \( a \in S \) とする. このとき, \( R \) 代数の準同型 \[ \p \colon \Rx \to S \] で, \[ \p(x) = a \] を…

多項式環の定義

\( R \) を可換環とし, \( P \) を \( R \) 代数(定義はこちら: 多項式の法 \( n \) での還元)とする. 1 点 \( x \in P \) の固定された \( P \) が次の条件をみたすとき, \( R \) 上の多項式環という. (条件) \( (x^n)_{n \ge 0} \) は \( P \) の \( …

多項式の法 \(n\) での還元

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Znx}{\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right) [x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(…

アイゼンシュタインの既約判定法

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Zpx}{\left( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right) [x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(…

\( \mathbb{Z} \) 上既約な多項式 \( \mathbb{Q} \) 上既約な多項式

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Qx}{\mathbb{Q}[x]} \newcommand{\Rx}{R[x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(x)} \newcommand{\h}{h(x)} \newcommand{\gbar}{\overlin…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習15

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rt}{\sqrt{-5}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \newcommand{\elep}{1 + \sqrt{-5}} \newcommand{\elem}{1 - \sqrt{-5}} \newcommand{\elepm}{1 \pm \sqrt{-5}} \n…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習14

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\r}{\sqrt{2}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\s}{\sigma} \)等式 \[ \left( 1 + \r \right) \left( -1 + \r \right) = 1 \] が成り立つので, \( 1 + \r \) は \( \Z[\…

同伴行列 あるいは コンパニオン行列 (2)

\( \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\q}{\C[x] \, / \, (p(x))} \newcommand{\qq}{\C[x] \, / \, ((x-\a_1)^{n_1}) \, \oplus \, \cdots \, \oplus \, \C[x] \, / \, ((x-\a_r)^{n_r})} \newcommand{\qqfactor}{\C[x] \, /…

同伴行列 あるいは コンパニオン行列 (1)

多項式 \[ p(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \] に対して, 行列 \[ \begin{pmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ & & & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix} \] をその同伴…

単因子 最小多項式 ケーリー・ハミルトンの定理

\( \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \) \( A \) を \( n \times n \) 複素行列とします. 1. 行列 \( xI - A \) の単因子を求めます: \[ xI - A \quad \xrightarrow{\text{基本変形}} \quad \begin{pmatrix} e_1(x) & & & \\ & e_2(x) & & \\ & & \ddots & \\…

最小多項式の計算方法

行列 \( A \) の最小多項式を求めます. 1. 基本変形で, \( xI - A \) を対角行列にもっていきます: \[ xI - A \quad \longrightarrow \quad \begin{pmatrix} f_1(x) & & & \\ & f_2(x) & & \\ & & \ddots & \\ & & & f_n(x) \end{pmatrix}. \] 各 \( f_i(…

ジョルダン標準形が分かれば、最小多項式も分かる。

\( J \) を行列 \( A \) のジョルダン標準形とします. このとき, ある正則行列 \( P \) があって, \[ P^{-1} A P = J. \] 多項式 \[ f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \in \mathbb{C}[x] \] に対して, \begin{align} f(J) &= f(P^{-1} A P) \\[0…

ジョルダン標準形の最小多項式

ジョルダン細胞 \begin{align} &J_{l_1}(\alpha), \, \ldots, \, J_{l_r}(\alpha), \\[0.5em] &J_{m_1}(\beta), \, \ldots, \, J_{m_s}(\beta), \\[0.5em] &\cdots \\[0.5em] &J_{n_1}(\gamma), \, \ldots, \, J_{n_t}(\gamma) \end{align} を対角に並べたジ…