ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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ジョルダン標準形の計算例

行列 \[ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 7 & 6 & -3 \\ 5 & 4 & -2 \end{pmatrix} \] のジョルダン標準形を求めてみます. 1. 行列 \[ x I_3 - A = \begin{pmatrix} x+2 & 2 & -1 \\ -7 & x-6 & 3 \\ -5 & -4 & x+2 \end{pmatrix} \] からスタートしま…

ジョルダン標準形の計算方法

\( n \times n \) 複素行列 \( A \) のジョルダン標準形を求めます. 1. まず, \[ x I_n - A = \begin{pmatrix} x - a_{11} & - a_{12} & \cdots & - a_{1n} \\ - a_{21} & x - a_{22} & \cdots & - a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ - a_{n1} & - …

単因子の一意性

小行列式をうまく使うもんだなあ, と思ったのでまとめておきます. 行列の成分は整数です. 要点は次の 2 点: \( p \) 次小行列式全体の最大公約数は, 行および列の基本変形で不変である. 行列 \[ \begin{pmatrix} e_1 & & & & \quad \\ & e_2 & & & \quad \\…

代数体の合成体に関するメモ

\( K \) と \( L \) を代数体(\( \mathbb{Q} \) 上有限次である \( \mathbb{C} \) の部分体)とする. \( K \) と \( L \) の \( \mathbb{Q} \) 上の基底をそれぞれ \begin{align} &(\delta_1, \ldots, \delta_m), \\ &(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_…

単因子の計算例

前々回扱った行列 \[ \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 & -5 \\ 2 & 5 & 1 & -7 \\ 1 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \] の単因子を計算してみます. どのような基本変形を行ったかは見て明らかだと思いますので, その詳しい説明は省略します. 前回述べたように, 「(1, …

単因子

前回見たように, 整数成分の任意の行列を基本変形で \[ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} d_1 & & & & \quad \\ & d_2 & & & \quad \\ & & \ddot…

整数係数連立一次方程式の整数解

例えば, \[ \left\{ \begin{array}{rcrcrcrcl} 5x & + & 8y & + & 8z & - & 5w & = & 1 \\ 2x & + & 5y & + & z & - & 7w & = & -5 \\ x & + & y & + & 5z & + & 4w & = & 8 \end{array} \right. \] の整数解を求めてみます. 1. こんな行列を作ります: \[…

一次不定方程式の整数解 拡張されたユークリッドの互除法

拡張されたユークリッドの互除法 一次不定方程式 \[ a x + b y = c, \quad a, b, c \in \mathbb{Z} \tag{#} \] について以下が知られています. \( d \) を \( a \) と \( b \) の最大公約数とします. (#)が整数解をもつ. \( \, \Longleftrightarrow \, \) …

ユークリッドの互除法

\[ 8983 \quad \text{と} \quad 4043 \] の最大公約数を求めてみます. \( a \) を \( b \) で割って, 商が \( q \), 余りが \( r \) ならば, \[ a \div b = q \, \cdots \, r \] と書きます. \begin{align} 8983 \div 4043 &= 2 \, \cdots \, 897 \\[0.5em] …

上から計算しても、下から計算しても同じ。

好きな数列をとって, 縦に並べます. 例えば, 数列 \[ (1, 2, 3) \] をとってみます: \(1\) \(2\) \(3\) 以下のような計算をしてみましょう. 1.まず, 一番上に \( 0 \) と \( 1 \) を配置します: \( 0 \) \( 1 \) \( 1 \) \( 2 \) \( 3 \) 2.右側の数を掛…

不定方程式の整数解と最大公約数と: ユークリッドの互除法

簡単であるが, 因数分解することなく最大公約数が求まってしまうこの方法は, やはり面白い. \( a > b > 0 \) を整数とし, \( a \) を \( b \) で割る: \[ a = q \, b + r, \quad 0 \le r 証明はすこぶる簡単: \( d > 0 \) が \( a \) と \( b \) の公約数…

不定方程式の整数解と最大公約数と: 足し算と掛け算のパズル(後編)

前回, 次のような計算 \begin{align} &0 \, \quad \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 2 \, \begin{array}{c} \stackrel{3}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 7 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1…

不定方程式の整数解と最大公約数と: 足し算と掛け算のパズル(前編)

\[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \] と書いてあったら, \[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, a + bc \] と数を埋めることにする. これを以下…

体拡大の話: 有限次拡大は単拡大

この証明が面白かったので, 書いておく. \( K \subset L \) は \( \mathbb{C} \) 内の有限次拡大. まず, 次が基本的. 体 \( K \) の \( \mathbb{C} \) への埋め込み(単射準同型) \( \sigma \) があるとする. 代数的数 \( \alpha \) の \( K \) 上の最小多…

複素整数と有限体の世界

(0) まえがき 第 I 部 導入 (1) 複素整数の魔法(1) (2) 複素整数の魔法(2) (3) 複素整数への分解(1) (4) 複素整数への分解(2) (5) 仮説 A (6) 仮説 B と仮説 C(1) (7) 仮説 B と仮説 C(2) 第 II 部 基本概念…

アポロニアン・ガスケットの描き方

(0) ぐるぐる回る無数の円 (1) 概要 (2) 最初の3円 (3) 立体射影 (4) 反転(1) (5) 反転(2) (5.5) 変形する格子のアニメーション (6) 円の反転(1) (7) 円の反転(2) (8) 4つの反転円(1) (9) 4つの反転円…

パーティクルシステムの練習**空間のちょうど半分**

パーティクルシステムの練習**空間のちょうど半分**