レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus)

Number Fields (Daniel A. Marcus) 練習問題の解答: 目次

第1章 練習1 練習2 練習3 練習4 練習5 練習6 練習7 練習8 練習9 練習10 練習11 練習12 練習13 練習14 練習15 練習16 練習17 練習18 練習19 練習20 練習21 練習22 練習23 練習24 練習25 練習26 練習27 練習2…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習20

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \)\( f(x) \in K[x] \) は既約なので, 重根をもたない. \( f(x) \) の \( \C \) における根を, \( \a \), \( \b_1 \), \( \ldots \), \( \b_n \) \( (n \ge 0) \) とし, \[ …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習19

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \)\( f(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} + x^n \in R[x] \), \( n \ge 1 \) に対して, \begin{ali…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習18

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \) \[ \s \t = \sd \td \] とする. \( \a \in L\) に対して, \[ \s \t (\a) = \sd \td (\a) \] であるが, \( \t…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習17

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \)\( \a \in L \) とする. \( [L:K[\a]] = m \) とし, \( [K[\a]:K] = l \) とす…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習16

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\rt}{\sqrt{3}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \new…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習15

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rt}{\sqrt{-5}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \newcommand{\elep}{1 + \sqrt{-5}} \newcommand{\elem}{1 - \sqrt{-5}} \newcommand{\elepm}{1 \pm \sqrt{-5}} \n…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習14

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\r}{\sqrt{2}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\s}{\sigma} \)等式 \[ \left( 1 + \r \right) \left( -1 + \r \right) = 1 \] が成り立つので, \( 1 + \r \) は \( \Z[\…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習13

\( m 1. \( m \not\equiv 1 \pmod{4} \) のとき. \( \alpha \in \mathbb{A} \cap \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \)とし, \[ \alpha = a + b \sqrt{m}, \quad a, b \in \mathbb{Z} \] と書く. このとき, \begin{align} \alpha \, \text{が単数} &\Longleftrightarro…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習12

(a) 複素共役は可換群 \( \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) の元であるので, 任意の \( \sigma \in \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) に対して, \[ \sigma(\overline{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習11

(a) \begin{align} f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_n) \end{align} であるとする. このとき, \[ a_r = (-1)^{n-r} \sum_{1 \le k_1 (b) \[ P_n = \left\{ x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習10

\[ r = m \, n \] とする. \( m \) の素因数分解を \[ m = 2^{a_0} \, p_1^{a_1} \, \cdots \, p_s^{a_s} , \quad a_i \ge 1 \] とし, \[ n = 2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, n' , \quad b_i \ge 0, \,\,\, (m, n') = 1 \] とする. このと…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習9

\( \theta \) は 1 の原始 \( k \) 乗根なので, \( (h,k) = 1 \) をみたすある \( h \in \mathbb{Z} \) に対して, \[ \theta = e^{\frac{2 \pi i h}{k}} \] と書ける. \( (h,k) = 1 \) なので, \[ ha \equiv 1 \pmod{k} \] をみたす \( a \in \mathbb{Z} \) …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習8

後で。

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習7

\( k \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \omega \mapsto \omega^k \] となる \( \mathbb{Q}[\omega] \) の自己同型を \( \sigma_k \) で表す. \( k \), \( l \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \sigma_k \sigma_l (\omega) = \sigma_k(\omega^l) = \…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習6

\[ g = f^2 h, \quad h \in K[x] \] とする. このとき, \[ g' = 2fh + f^2 h' = f \left(2h + fh' \right). \] したがって, \[ f \mid g' \] である. \( \Box \)

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習5

次数に関する帰納法で示す. \( \deg f \le 1 \) のとき: このとき \( f(x) = c \), \( c \in \mathbb{Z}_p \) であり, \[ \left( f(x) \right)^p = c^p = c = f(x^p) \] が成り立つ. \( \deg f \ge 2 \) のとき: \( \deg f = n \) として, \[ f(x) = c x^n…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習4

\[ R := \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}] \] とおく. \( R \) の加法群は有限生成である(定理 2, 系 1 の証明参照)ので, その生成元を \[ b_1, \quad \ldots, \quad b_m \] とおく. 任意の \[ \beta \in \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha] \] は…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習3

\[ 2r, \quad r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \] とし, \begin{align} & 2r = k, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.5em] & s = \frac{l}{n}, \quad l, \, n \in \mathbb{Z}, \quad \left(l,n \right) = 1, \quad n > 0 \end{align} とする. このとき, \[ \frac{k^2}…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習2

(a) \[ 1 + \sqrt{-3} \notin (2) \] であるから, \[ I \neq (2) \] である. また, \begin{align} I^2 &= \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \cdot \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= \left(4, \, 2 + 2\sqrt{-3}, \, -2 + 2\sqrt{-3} \right…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習1

(a) 数体 \( K \) が \( \mathbb{Q} \) 上次数2であるとする. \( K = \mathbb{Q}[\alpha] \) とし, \[ f(x) = a x^2 + b x + c \quad (a, b, c \in \mathbb{Z} ) \] を \( \alpha \) の最小多項式とする. \( f(\alpha) = 0 \) であるから, \[ \alpha = \fra…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習32

(1) 単位元の存在: 単項イデアル全体のなすイデアル類を \( C_0 \) とおく. \( C \) をイデアル類とし, \( C \) に含まれるイデアル \( A \) をとる. \[ RA = A \] であるから, \[ C_0 C = C \] である. (2) 逆元の存在: \( C \) をイデアル類とし, \( C \…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習31

(1) \[ \alpha A = (\beta), \quad \beta \in R \] とする. \( \beta \in \alpha A \) であるから, \[ \beta = \alpha a_0, \quad \exists a_0 \in A. \] 任意の \( a \in A \) に対して, ある \( r \in R \) が存在して, \[ \alpha a = r \beta. \] ゆえに,…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習30

\( A \), \( B \) を \( R \) のイデアルとする. (1) \( A \) と \( B \) が同じイデアル類に属するとする. このとき, ある 0 でない \( \alpha \), \( \beta \in R \) が存在して, \[ \alpha A = \beta B. \] \( R \) は整域であり, \( \alpha \neq 0 \), \…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習29

(1) 積を計算すると, \begin{align} &1 + \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4} + 3 \omega^{5} + 3 \omega^{6} \\[0.3em] &+ 3 \omega^{7} + \omega^{8} + 3 \omega^{9} + 3 \omega^{10} + 7 \omega^{11} + 3 \omega^{12} \\[0.3em] &+ 3 \omega^…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習28

\[ x + y \omega \equiv y + x \omega \pmod{p} \] より, \[ x \equiv y \pmod{p}. \quad \Box \]

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習27

1. \( 2 \le k \le p-2 \) とする. このとき, \[ 1 \le k - 1 < k \le p-2 \] である. \[ x + \left( y \omega - y \omega^{k - 1} - x \omega^k \right) \equiv 0 \pmod{p} \] より, \[ p \mid x \] であるが, これは矛盾である. 2. \( k = p-1 \) とす…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習26

練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して, \[ \alpha^p \equiv a \pmod{p}. \] したがって, \[ x + y \omega \equiv u \alpha^p \equiv u a \pmod{p} \] である. 共役をとると, \[ x + y \omega^{-1} \equiv \overline{u} a \pmod{p}. \] 単数…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習25

\[ \alpha = a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} \quad (a_i \in \mathbb{Z}) \] とする. 練習 24 より, \begin{align} \alpha^p &= (a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2})^p \\ & \equiv a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習24

(1) \[ (\beta + \gamma)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} \beta^i \gamma^{p-i} \equiv \beta^p + \gamma^p \pmod{p}. \quad \Box \] (2) \[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p = \beta_1^p + \cdots + \beta_r^p \pmod{p} \] を \( r \) に関する帰納法で示す…