レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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Number Fields (Daniel A. Marcus)

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習20

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \)\( f(x) \in K[x] \) は既約なので, 重根をもたない. \( f(x) \) の \( \C \) における根を, \( \a \), \( \b_1 \), \( \ldots \), \( \b_n \) \( (n \ge 0) \) とし, \[ …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習19

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \)\( f(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} + x^n \in R[x] \), \( n \ge 1 \) に対して, \begin{ali…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習18

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \) \[ \s \t = \sd \td \] とする. \( \a \in L\) に対して, \[ \s \t (\a) = \sd \td (\a) \] であるが, \( \t…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習17

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \)\( \a \in L \) とする. \( [L:K[\a]] = m \) とし, \( [K[\a]:K] = l \) とす…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習16

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\rt}{\sqrt{3}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \new…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習15

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rt}{\sqrt{-5}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \newcommand{\elep}{1 + \sqrt{-5}} \newcommand{\elem}{1 - \sqrt{-5}} \newcommand{\elepm}{1 \pm \sqrt{-5}} \n…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習14

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\r}{\sqrt{2}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\s}{\sigma} \)等式 \[ \left( 1 + \r \right) \left( -1 + \r \right) = 1 \] が成り立つので, \( 1 + \r \) は \( \Z[\…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習13

\( m 1. \( m \not\equiv 1 \pmod{4} \) のとき. \( \alpha \in \mathbb{A} \cap \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \)とし, \[ \alpha = a + b \sqrt{m}, \quad a, b \in \mathbb{Z} \] と書く. このとき, \begin{align} \alpha \, \text{が単数} &\Longleftrightarro…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習12

(a) 複素共役は可換群 \( \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) の元であるので, 任意の \( \sigma \in \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) に対して, \[ \sigma(\overline{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習11

(a) \begin{align} f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_n) \end{align} であるとする. このとき, \[ a_r = (-1)^{n-r} \sum_{1 \le k_1 (b) \[ P_n = \left\{ x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習10

\[ r = m \, n \] とする. \( m \) の素因数分解を \[ m = 2^{a_0} \, p_1^{a_1} \, \cdots \, p_s^{a_s} , \quad a_i \ge 1 \] とし, \[ n = 2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, n' , \quad b_i \ge 0, \,\,\, (m, n') = 1 \] とする. このと…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習9

\( \theta \) は 1 の原始 \( k \) 乗根なので, \( (h,k) = 1 \) をみたすある \( h \in \mathbb{Z} \) に対して, \[ \theta = e^{\frac{2 \pi i h}{k}} \] と書ける. \( (h,k) = 1 \) なので, \[ ha \equiv 1 \pmod{k} \] をみたす \( a \in \mathbb{Z} \) …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習8

後で。

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習7

\( k \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \omega \mapsto \omega^k \] となる \( \mathbb{Q}[\omega] \) の自己同型を \( \sigma_k \) で表す. \( k \), \( l \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \sigma_k \sigma_l (\omega) = \sigma_k(\omega^l) = \…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習6

\[ g = f^2 h, \quad h \in K[x] \] とする. このとき, \[ g' = 2fh + f^2 h' = f \left(2h + fh' \right). \] したがって, \[ f \mid g' \] である. \( \Box \)

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習5

次数に関する帰納法で示す. \( \deg f \le 1 \) のとき: このとき \( f(x) = c \), \( c \in \mathbb{Z}_p \) であり, \[ \left( f(x) \right)^p = c^p = c = f(x^p) \] が成り立つ. \( \deg f \ge 2 \) のとき: \( \deg f = n \) として, \[ f(x) = c x^n…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習4

\[ R := \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}] \] とおく. \( R \) の加法群は有限生成である(定理 2, 系 1 の証明参照)ので, その生成元を \[ b_1, \quad \ldots, \quad b_m \] とおく. 任意の \[ \beta \in \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha] \] は…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習3

\[ 2r, \quad r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \] とし, \begin{align} & 2r = k, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.5em] & s = \frac{l}{n}, \quad l, \, n \in \mathbb{Z}, \quad \left(l,n \right) = 1, \quad n > 0 \end{align} とする. このとき, \[ \frac{k^2}…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習2

(a) \[ 1 + \sqrt{-3} \notin (2) \] であるから, \[ I \neq (2) \] である. また, \begin{align} I^2 &= \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \cdot \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= \left(4, \, 2 + 2\sqrt{-3}, \, -2 + 2\sqrt{-3} \right…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第2章 練習1

(a) 数体 \( K \) が \( \mathbb{Q} \) 上次数2であるとする. \( K = \mathbb{Q}[\alpha] \) とし, \[ f(x) = a x^2 + b x + c \quad (a, b, c \in \mathbb{Z} ) \] を \( \alpha \) の最小多項式とする. \( f(\alpha) = 0 \) であるから, \[ \alpha = \fra…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習32

(1) 単位元の存在: 単項イデアル全体のなすイデアル類を \( C_0 \) とおく. \( C \) をイデアル類とし, \( C \) に含まれるイデアル \( A \) をとる. \[ RA = A \] であるから, \[ C_0 C = C \] である. (2) 逆元の存在: \( C \) をイデアル類とし, \( C \…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習31

(1) \[ \alpha A = (\beta), \quad \beta \in R \] とする. \( \beta \in \alpha A \) であるから, \[ \beta = \alpha a_0, \quad \exists a_0 \in A. \] 任意の \( a \in A \) に対して, ある \( r \in R \) が存在して, \[ \alpha a = r \beta. \] ゆえに,…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習30

\( A \), \( B \) を \( R \) のイデアルとする. (1) \( A \) と \( B \) が同じイデアル類に属するとする. このとき, ある 0 でない \( \alpha \), \( \beta \in R \) が存在して, \[ \alpha A = \beta B. \] \( R \) は整域であり, \( \alpha \neq 0 \), \…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習29

(1) 積を計算すると, \begin{align} &1 + \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4} + 3 \omega^{5} + 3 \omega^{6} \\[0.3em] &+ 3 \omega^{7} + \omega^{8} + 3 \omega^{9} + 3 \omega^{10} + 7 \omega^{11} + 3 \omega^{12} \\[0.3em] &+ 3 \omega^…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習28

\[ x + y \omega \equiv y + x \omega \pmod{p} \] より, \[ x \equiv y \pmod{p}. \quad \Box \]

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習27

1. \( 2 \le k \le p-2 \) とする. このとき, \[ 1 \le k - 1 < k \le p-2 \] である. \[ x + \left( y \omega - y \omega^{k - 1} - x \omega^k \right) \equiv 0 \pmod{p} \] より, \[ p \mid x \] であるが, これは矛盾である. 2. \( k = p-1 \) とす…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習26

練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して, \[ \alpha^p \equiv a \pmod{p}. \] したがって, \[ x + y \omega \equiv u \alpha^p \equiv u a \pmod{p} \] である. 共役をとると, \[ x + y \omega^{-1} \equiv \overline{u} a \pmod{p}. \] 単数…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習25

\[ \alpha = a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} \quad (a_i \in \mathbb{Z}) \] とする. 練習 24 より, \begin{align} \alpha^p &= (a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2})^p \\ & \equiv a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習24

(1) \[ (\beta + \gamma)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} \beta^i \gamma^{p-i} \equiv \beta^p + \gamma^p \pmod{p}. \quad \Box \] (2) \[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p = \beta_1^p + \cdots + \beta_r^p \pmod{p} \] を \( r \) に関する帰納法で示す…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習23

\[ \beta \equiv \gamma \pmod{p} \] ならば, \[ \beta - \gamma = p \delta \] となる \( \delta \in \mathbb{Z}[\omega] \) が存在する. 両辺の共役をとって, \[ \overline{\beta} - \overline{\gamma} = p \overline{\delta}. \] \( \overline{\delta} \i…