ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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雑記

ユークリッドの互除法

\[ 8983 \quad \text{と} \quad 4043 \] の最大公約数を求めてみます. \( a \) を \( b \) で割って, 商が \( q \), 余りが \( r \) ならば, \[ a \div b = q \, \cdots \, r \] と書きます. \begin{align} 8983 \div 4043 &= 2 \, \cdots \, 897 \\[0.5em] …

上から計算しても、下から計算しても同じ。

好きな数列をとって, 縦に並べます. 例えば, 数列 \[ (1, 2, 3) \] をとってみます: \(1\) \(2\) \(3\) 以下のような計算をしてみましょう. 1.まず, 一番上に \( 0 \) と \( 1 \) を配置します: \( 0 \) \( 1 \) \( 1 \) \( 2 \) \( 3 \) 2.右側の数を掛…

不定方程式の整数解と最大公約数と: ユークリッドの互除法

簡単であるが, 因数分解することなく最大公約数が求まってしまうこの方法は, やはり面白い. \( a > b > 0 \) を整数とし, \( a \) を \( b \) で割る: \[ a = q \, b + r, \quad 0 \le r 証明はすこぶる簡単: \( d > 0 \) が \( a \) と \( b \) の公約数…

不定方程式の整数解と最大公約数と: 足し算と掛け算のパズル(後編)

前回, 次のような計算 \begin{align} &0 \, \quad \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 2 \, \begin{array}{c} \stackrel{3}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 7 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1…

不定方程式の整数解と最大公約数と: 足し算と掛け算のパズル(前編)

\[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \] と書いてあったら, \[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, a + bc \] と数を埋めることにする. これを以下…

体拡大の話: 有限次拡大は単拡大

この証明が面白かったので, 書いておく. \( K \subset L \) は \( \mathbb{C} \) 内の有限次拡大. まず, 次が基本的. 体 \( K \) の \( \mathbb{C} \) への埋め込み(単射準同型) \( \sigma \) があるとする. 代数的数 \( \alpha \) の \( K \) 上の最小多…