勉☆強☆し☆な☆い

タイトルテスト中

雑記

稠密な部分集合上で一致する連続写像(2)

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\rmT}{\mathrm{T}} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\yset}{\{ y \}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\tm}…

稠密な部分集合上で一致する連続写像(1)

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\rmT}{\mathrm{T}} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\phinv}{\ph^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\ssn}{\subsetneq} \newcommand{\…

余有限位相: \( \mathrm{T}_1 \) だがハウスドルフでない位相

\( \newcommand{\rmT}{\mathrm{T}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 位相空間 \( X \) の2点を開集合で分離することに…

始位相と終位相(3): 積空間への写像の連続性とその成分の連続性

\( \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scI}{\mathscr{I}} \newcommand{\scO}{\mathscr{O}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcom…

始位相と終位相(2): 連続写像かどうかは、生成開集合ついて確かめればよい

\( \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scI}{\mathscr{I}} \newcommand{\scO}{\mathscr{O}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcom…

始位相と終位相(1): 定義

\( \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scG}{\mathscr{G}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni…

部分集合族によって生成される位相

\( \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scB}{\mathscr{B}} \newcommand{\scO}{\mathscr{O}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin…

ハウスドルフ空間と対角線集合

\( \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni}{\not\ni} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{…

実数からなる完全集合の非可算性

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}…

実数全体の集合が非可算であることの、区間縮小法の原理を用いた証明

\( \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcomman…

コンパクト空間の縮小閉集合列と区間縮小法の原理

\( \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\e…

非可測集合は存在する(3)

\( \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{…

非可測集合は存在する(2)

\( \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{…

非可測集合は存在する(1)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\m}{m^{*}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\equ}{\Longleftrightarrow} \newco…

有界閉区間の外測度(3)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\m}{m^{*}} \newcommand{\calI}{\mathcal{I}} \newcommand{\calJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\l…

有界閉区間の外測度(2)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\m}{m^{*}} \newcommand{\calI}{\mathcal{I}} \newcommand{\calJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\l…

有界閉区間の外測度(1)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\m}{m^{*}} \) 前回の続きです. 以下のことを示します. 有界閉区間の外測度は, その長さ(端点…

実数全体の集合が非可算であることの、外測度を用いた証明

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\m}{m^{*}} \) 以前, 「実数全体の集合は非可算」 であることを区間縮小法を用いて証明しました…

有理数

\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)分数の和と積の規則 \begin{align*} \frac{m}{n} + \frac{m'}{n'} &= \frac{m n' + n m'}{nn'}, \\[0.5em] \frac{m}{n} \times \frac{m'}{n'} &= \frac{m m'}{n n'} \end{align*} はどこから…

負の数

\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)2種類のものを数えます. どちらがどれだけ多いかに着目して同値類に分けます. 式で書くと, \[ \bigl(m,n \bigr) \sim \bigl(m', n' \bigr) \, \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} …

距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(3)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( X \) を距離空間とし, \( F_1\), \( F_2 \subset X \) を互いに交わらない閉集合とする. このとき, \[ F_1 \subset U_1, \quad F_2 \subset U_2, \quad U_1 \cap U_2 = \emptyset \] をみたす開集合 \( U_1 \), \( U_2 …

距離関数の連続性

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \)1. \( (X,d) \) を距離空間とし, \( a \in X \) とする. このとき, \[ d( \Box, a) : X \to \R, \quad x \mapsto d(x,a) \] は連続である. 証明. 三角不等式より, 任意の \(x, y \in X\) に…

距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(2)

\( \newcommand{\Bx}{B \left(x, \frac{d(x, F_2)}{2} \right)} \newcommand{\By}{B \left(y, \frac{d(y, F_1)}{2} \right)} \newcommand{\dx}{d(x, F_2)} \newcommand{\dy}{d(y, F_1)} \newcommand{\dsum}{\dx + \dy} \)\( F_1 \) と \( F_2 \) を距離空間 …

距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(1)

主張を正確に述べます: \( F_1 \) と \( F_2 \) を距離空間 \( X \) の交わらない閉集合とするとき, ある開集合 \( U_1 \) と \( U_2 \) が存在して, \[ F_1 \subset U_1, \quad F_2 \subset U_2, \quad U_1 \cap U_2 = \emptyset. \] 証明は, \begin{align…

ドラゴン曲線の描き方

「世代」に 0 〜 16 の数字、「角度」に 60 〜 180 の数字を入力してください: 世代: 角度: ドラゴン曲線とは 「第 n 世代 のドラゴン曲線」を次の図のように描いていきます。 その極限として得られる曲線が「ドラゴン曲線」です。 前の世代を構…

コッホ曲線の描き方

描き方 「コッホ曲線」は、 第0世代のコッホ曲線, 第1世代のコッホ曲線, 第2世代のコッホ曲線, 第3世代のコッホ曲線, ... と描いていった果ての極限ですが, その描き方は以下の通りです: Canvas でのプログラミング 「原点 (0, 0) を左端とし, 点 (size…

べき集合の濃度

\( \newcommand{\d}{\mathrm{def}} \)えもいわれぬ味わい. 集合 \( A \) に対して, 「 \(A\) の部分集合の全体 」 を \(A\) のべき集合といいます. これを \( P(A) \) と書くことにしましょう: \[ P(A) := \{ B \mid B \subset A \}. \] 集合 \( A \) とそ…

実数全体の集合は非可算

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\a}{\alpha} \)無限にも種類があるよ, という話. 無限集合 \(S\) が可算であるとは, \[ \{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots \} \] から \(S\) への全単射が存在することです. 無限集合 \(S\) が非可算であるとは, \(S\…

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (4)

\( \DeclareMathOperator{\id}{id} \newcommand{\co}{\, \colon \,} \newcommand{\bz}{\boldsymbol{z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\detR}{\textstyle \det_{\R}} \newcommand{\detC}{\textstyle \det_{\C}} \new…

ベクトル空間の係数拡大と行列式

\( \DeclareMathOperator{\id}{id} \newcommand{\p}{\varphi_c} \newcommand{\f}{f \otimes \id_K} \newcommand{\V}{V \otimes_k K} \)\( k \subset K \) を体の拡大. \( V \) は \( k \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間で, \[ f \colon V \to V \] は \( k …