ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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雑記

多項式環の定義

\( R \) を可換環とし, \( P \) を \( R \) 代数(定義はこちら: 多項式の法 \( n \) での還元)とする. 1 点 \( x \in P \) の固定された \( P \) が次の条件をみたすとき, \( R \) 上の多項式環という. (条件) \( (x^n)_{n \ge 0} \) は \( P \) の \( …

多項式の法 \(n\) での還元

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Znx}{\left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right) [x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(…

アイゼンシュタインの既約判定法

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Zpx}{\left( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \right) [x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(…

\( \mathbb{Z} \) 上既約な多項式 \( \mathbb{Q} \) 上既約な多項式

\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Zx}{\mathbb{Z}[x]} \newcommand{\Qx}{\mathbb{Q}[x]} \newcommand{\Rx}{R[x]} \newcommand{\f}{f(x)} \newcommand{\g}{g(x)} \newcommand{\h}{h(x)} \newcommand{\gbar}{\overlin…

同伴行列 あるいは コンパニオン行列 (2)

\( \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\q}{\C[x] \, / \, (p(x))} \newcommand{\qq}{\C[x] \, / \, ((x-\a_1)^{n_1}) \, \oplus \, \cdots \, \oplus \, \C[x] \, / \, ((x-\a_r)^{n_r})} \newcommand{\qqfactor}{\C[x] \, /…

同伴行列 あるいは コンパニオン行列 (1)

多項式 \[ p(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \] に対して, 行列 \[ \begin{pmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ & & & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix} \] をその同伴…

単因子 最小多項式 ケーリー・ハミルトンの定理

\( \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \) \( A \) を \( n \times n \) 複素行列とします. 1. 行列 \( xI - A \) の単因子を求めます: \[ xI - A \quad \xrightarrow{\text{基本変形}} \quad \begin{pmatrix} e_1(x) & & & \\ & e_2(x) & & \\ & & \ddots & \\…

最小多項式の計算方法

行列 \( A \) の最小多項式を求めます. 1. 基本変形で, \( xI - A \) を対角行列にもっていきます: \[ xI - A \quad \longrightarrow \quad \begin{pmatrix} f_1(x) & & & \\ & f_2(x) & & \\ & & \ddots & \\ & & & f_n(x) \end{pmatrix}. \] 各 \( f_i(…

ジョルダン標準形が分かれば、最小多項式も分かる。

\( J \) を行列 \( A \) のジョルダン標準形とします. このとき, ある正則行列 \( P \) があって, \[ P^{-1} A P = J. \] 多項式 \[ f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \in \mathbb{C}[x] \] に対して, \begin{align} f(J) &= f(P^{-1} A P) \\[0…

ジョルダン標準形の最小多項式

ジョルダン細胞 \begin{align} &J_{l_1}(\alpha), \, \ldots, \, J_{l_r}(\alpha), \\[0.5em] &J_{m_1}(\beta), \, \ldots, \, J_{m_s}(\beta), \\[0.5em] &\cdots \\[0.5em] &J_{n_1}(\gamma), \, \ldots, \, J_{n_t}(\gamma) \end{align} を対角に並べたジ…

ジョルダン細胞の最小多項式

\( \alpha \in \mathbb{C} \) とします. \(n \) 次ジョルダン細胞 \[ J := \begin{pmatrix} \alpha & 1 & & & \\ & \alpha & 1 & & \\ & & \alpha & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \alpha \end{pmatrix} \] (もちろん \( n \times n \))の最小…

行列の最小多項式

1. 最小多項式 体 \( K \) 上の \( n \times n \) 行列 \( A \) を考えます. 体 \( K \) 上の \( n \times n \) 行列全体は \( n^2 \) 次元の \( K \) ベクトル空間なので, \( n^2 + 1 \) 個の行列 \[ I, \, A, \, A^2, \, \ldots, \, A^{n^2} \] は一次従…

ジョルダン標準形の計算例

行列 \[ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 7 & 6 & -3 \\ 5 & 4 & -2 \end{pmatrix} \] のジョルダン標準形を求めてみます. 1. 行列 \[ x I_3 - A = \begin{pmatrix} x+2 & 2 & -1 \\ -7 & x-6 & 3 \\ -5 & -4 & x+2 \end{pmatrix} \] からスタートしま…

ジョルダン標準形の計算方法

\( n \times n \) 複素行列 \( A \) のジョルダン標準形を求めます. 1. まず, \[ x I_n - A = \begin{pmatrix} x - a_{11} & - a_{12} & \cdots & - a_{1n} \\ - a_{21} & x - a_{22} & \cdots & - a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ - a_{n1} & - …

単因子の一意性

小行列式をうまく使うもんだなあ, と思ったのでまとめておきます. 行列の成分は整数です. 要点は次の 2 点: \( p \) 次小行列式全体の最大公約数は, 行および列の基本変形で不変である. 行列 \[ \begin{pmatrix} e_1 & & & & \quad \\ & e_2 & & & \quad \\…

代数体の合成体に関するメモ

\( K \) と \( L \) を代数体(\( \mathbb{Q} \) 上有限次である \( \mathbb{C} \) の部分体)とする. \( K \) と \( L \) の \( \mathbb{Q} \) 上の基底をそれぞれ \begin{align} &(\delta_1, \ldots, \delta_m), \\ &(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_…

単因子の計算例

前々回扱った行列 \[ \begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 & -5 \\ 2 & 5 & 1 & -7 \\ 1 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \] の単因子を計算してみます. どのような基本変形を行ったかは見て明らかだと思いますので, その詳しい説明は省略します. 前回述べたように, 「(1, …

単因子

前回見たように, 整数成分の任意の行列を基本変形で \[ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} d_1 & & & & \quad \\ & d_2 & & & \quad \\ & & \ddot…

整数係数連立一次方程式の整数解

例えば, \[ \left\{ \begin{array}{rcrcrcrcl} 5x & + & 8y & + & 8z & - & 5w & = & 1 \\ 2x & + & 5y & + & z & - & 7w & = & -5 \\ x & + & y & + & 5z & + & 4w & = & 8 \end{array} \right. \] の整数解を求めてみます. 1. こんな行列を作ります: \[…

一次不定方程式の整数解 拡張されたユークリッドの互除法

拡張されたユークリッドの互除法 一次不定方程式 \[ a x + b y = c, \quad a, b, c \in \mathbb{Z} \tag{#} \] について以下が知られています. \( d \) を \( a \) と \( b \) の最大公約数とします. (#)が整数解をもつ. \( \, \Longleftrightarrow \, \) …

ユークリッドの互除法

\[ 8983 \quad \text{と} \quad 4043 \] の最大公約数を求めてみます. \( a \) を \( b \) で割って, 商が \( q \), 余りが \( r \) ならば, \[ a \div b = q \, \cdots \, r \] と書きます. \begin{align} 8983 \div 4043 &= 2 \, \cdots \, 897 \\[0.5em] …

上から計算しても、下から計算しても同じ。

好きな数列をとって, 縦に並べます. 例えば, 数列 \[ (1, 2, 3) \] をとってみます: \(1\) \(2\) \(3\) 以下のような計算をしてみましょう. 1.まず, 一番上に \( 0 \) と \( 1 \) を配置します: \( 0 \) \( 1 \) \( 1 \) \( 2 \) \( 3 \) 2.右側の数を掛…

不定方程式の整数解と最大公約数と: ユークリッドの互除法

簡単であるが, 因数分解することなく最大公約数が求まってしまうこの方法は, やはり面白い. \( a > b > 0 \) を整数とし, \( a \) を \( b \) で割る: \[ a = q \, b + r, \quad 0 \le r 証明はすこぶる簡単: \( d > 0 \) が \( a \) と \( b \) の公約数…

不定方程式の整数解と最大公約数と: 足し算と掛け算のパズル(後編)

前回, 次のような計算 \begin{align} &0 \, \quad \, 1 \, \begin{array}{c} \stackrel{2}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 2 \, \begin{array}{c} \stackrel{3}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, 7 \, \begin{array}{c} \stackrel{1}{\frown} \\[1…

不定方程式の整数解と最大公約数と: 足し算と掛け算のパズル(前編)

\[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \] と書いてあったら, \[ a \, \quad \, b \, \begin{array}{c} \stackrel{c}{\frown} \\[1.5em] {} \end{array} \, a + bc \] と数を埋めることにする. これを以下…

体拡大の話: 有限次拡大は単拡大

この証明が面白かったので, 書いておく. \( K \subset L \) は \( \mathbb{C} \) 内の有限次拡大. まず, 次が基本的. 体 \( K \) の \( \mathbb{C} \) への埋め込み(単射準同型) \( \sigma \) があるとする. 代数的数 \( \alpha \) の \( K \) 上の最小多…