雑記

シンプソンの公式

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1…

因数定理

\( \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 以下の話で出てくる数はすべて実数です. 2. 多項式に関して, 「因数定理」と呼ばれる定理があります: \( 1 \) 次以上の多項式 \( f…

ラグランジュ補間(2)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\vd}{\vdots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarr…

ラグランジュ補間(1)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \) 1. 次のことが成り立ちます. 実直線上に相異なる \( n + 1 \) 点 \[ x_0, \, x_1, \, \ld, \, x_n \…

連結部分集合の閉包もまた連結である

\( \newcommand{\olY}{\overline{Y}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\qup}{\sqcup} \) 1. \( X \) を位相空間とし, \( Y \) をその連結な部分集合とする. このとき, \( Y \) の閉包 \( \olY \) も連結である. 2. 証明: \( \olY \) が連結でな…

二次関数の定積分: 5/6 公式

\( \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \) 1. \( a 2. 「1/6 公式」とは次の等式でした: \[ \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx = - \rec{6} h^3 \] 3. 本記事では, 次の「5/6 公式」を示します: \begin{align} \int_{a-h}^a (x-a)(x-b) \, dx &= \frac{5}{6} h^3…

\( \mathbb{R} \) の開集合は、互いに交わらない可算個の開区間の和である

\( \newcommand{\calU}{\mathcal{U}} \newcommand{\calI}{\mathcal{I}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\olbbR}{\overline{\mathbb{R}}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\oo}{\i…

二次関数の定積分: 1/6 公式(2)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 放物線に…

二次関数の定積分: シンプソンの公式と 1/6 公式

\( \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 定積分の…

二次関数の定積分: 1/6 公式(1)

\( \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 二次関数の定積分に関する次の等式を「1/6 公…

稠密な部分集合上の関数が全空間へ連続に拡張されるための必要十分条件

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\olf}{\overline{f}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcomman…

関数の極限が存在するための必要十分条件

\( \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\olf}{\overline{f}} \newcommand{\res}[2]{\left. #1 \, \right|_{#2}} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcomm…

稠密部分集合の直積はまた稠密

\( \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcomm…

稠密部分集合

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\calC}{\mathcal{C}} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand…

積位相の基

\( \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\calO}{\mathcal{O}} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\pinv}{p^{-1}} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\tm}{\times} \n…

位相の基、あるいは開基

\( \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\calO}{\mathcal{O}} \newcommand{\hcalB}{\hat{\mathcal{B}}} \newcommand{\hatB}{\hat{B}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\emset}{\em…

内部は最大の開集合、閉包は最小の閉集合

\( \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\qup}{\sqcup} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \DeclareMathOperator{\Int}{I…

稠密な部分集合上で一致する連続写像(2)

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\rmT}{\mathrm{T}} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\yset}{\{ y \}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\tm}…

稠密な部分集合上で一致する連続写像(1)

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\rmT}{\mathrm{T}} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\phinv}{\ph^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\ssn}{\subsetneq} \newcommand{\…

余有限位相: \( \mathrm{T}_1 \) だがハウスドルフでない位相

\( \newcommand{\rmT}{\mathrm{T}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 位相空間 \( X \) の2点を開集合で分離することに…

始位相と終位相(3): 積空間への写像の連続性とその成分の連続性

\( \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scI}{\mathscr{I}} \newcommand{\scO}{\mathscr{O}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcom…

始位相と終位相(2): 連続写像かどうかは、生成開集合ついて確かめればよい

\( \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scI}{\mathscr{I}} \newcommand{\scO}{\mathscr{O}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcom…

始位相と終位相(1): 定義

\( \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scG}{\mathscr{G}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni…

部分集合族によって生成される位相

\( \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scB}{\mathscr{B}} \newcommand{\scO}{\mathscr{O}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin…

ハウスドルフ空間と対角線集合

\( \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni}{\not\ni} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{…

実数からなる完全集合の非可算性

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}…

実数全体の集合が非可算であることの、区間縮小法の原理を用いた証明

\( \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcomman…

コンパクト空間の縮小閉集合列と区間縮小法の原理

\( \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\e…

非可測集合は存在する(3)

\( \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{…

非可測集合は存在する(2)

\( \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{…