雑記

\(n\) 次元射影空間の射影変換は \(n+2\) 点の行き先で決まる(3)

\( \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scf}{\text{𝒻} \,\,} \newcommand{\tilF}{\tilde{F}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcomman…

\(n\) 次元射影空間の射影変換は \(n+2\) 点の行き先で決まる(2)

\( \newcommand{\calF}{\mathcal{F}} \newcommand{\calG}{\mathcal{G}} \newcommand{\tilF}{\tilde{F}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ph}{\va…

疎集合

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\fol}{\, \Leftarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\ol}[1]{\overline{…

開部分集合における稠密性

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\fol}{\, \Leftarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\ol}[1]{\overline{…

\(n\) 次元射影空間の射影変換は \(n+2\) 点の行き先で決まる(1)

\( \newcommand{\calF}{\mathcal{F}} \newcommand{\calG}{\mathcal{G}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\phinv}{\varphi^{-1}} \newcommand{\p…

オイラー関数の計算

\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\piinv}{\pi^{-1}} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newco…

環準同型が誘導する単元群の間の群準同型

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcomma…

第一同型定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcomma…

中国の剰余定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcomma…

イデアルの共通部分と積

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\II}{\mathbb{I}} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcomma…

交わらないコンパクト集合と閉集合の間の距離は正

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newco…

点と集合の距離、集合と集合の距離

\( \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\} } \) 1. 距離空間 \( (X, d) \) の空でない部…

可換環の可逆元と極大イデアル

\( \newcommand{\calM}{\mathcal{M}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarr…

有限可換環の非可逆元と零因子

\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,}…

射影空間と射影変換

\( \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \c…

部分空間の逆像の次元

\( \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \newcommand{\usurj}[1]{\overset{#1}{\twoheadrightarrow}} \DeclareMathOperator{\Ker}…

ベクトル空間の次元定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\…

テイラーの定理(5)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\tol}{\leftarrow} \newcommand{\der}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \) 1. テイラーの定理の誤差部分を剰余項と言いますが, この剰余…

テイラーの定理(4)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, ロルの定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(3)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, 平均値の定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, …

テイラーの定理(2)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. テイラーの定理を証明します. テイラーの定理とは次の命題でした. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(1)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \) 1. \( n \) 次多項式関数 \[ p(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cd + c_n x^n \] を考えます. \( k \) 回(\( 0 \le k \le n \))微分して \( x = 0 \) を代入すると,…

平均値の定理の応用(2): 微分積分学の基本定理

\( \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 平均値の定理の応用として, 微分積分学の基本定理…

平均値の定理の応用(1): 微分してゼロになる関数は定数である

\( \newcommand{a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \) 1. 平均値の定理の応用として, 次の事実を示します. \( f \) を \( (a,b) \) 上の微分可能な関数とする. このとき, 任意の \( x \in (a,b) \) に対して \( f'(x) = 0 \) ならば, \( f \) は \( (a,b) \…

積分の平均値の定理

\( \newcommand{a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \m…

平均値の定理

\( \newcommand{\equ}{\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,} \newcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{ #1 }} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\set}[2]{\…

ロルの定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\imp}{\,\,\, \Rightarrow \,\,\,} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \rig…

\( \mathbb{R} \) のコンパクト部分集合は、最大値および最小値をもつ

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \) 1. 次のことの証明を2つ述べる: \( \RR \) の空…

最大値の定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \) 1. 定理. コンパクト空間上の実数値連続関数は最大値および最小値をもつ. 2. 証明. コンパクト空間から位相空間への連続写像があるとき, その像はコンパクトである. したがって, 今の場合, 像は \( \RR \) のコンパクト…

シンプソンの公式の誤差

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\lg}{\lessgtr} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]…