ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

雑記

有理数

\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)分数の和と積の規則 \begin{align*} \frac{m}{n} + \frac{m'}{n'} &= \frac{m n' + n m'}{nn'}, \\[0.5em] \frac{m}{n} \times \frac{m'}{n'} &= \frac{m m'}{n n'} \end{align*} はどこから…

負の数

\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)2種類のものを数えます. どちらがどれだけ多いかに着目して同値類に分けます. 式で書くと, \[ \bigl(m,n \bigr) \sim \bigl(m', n' \bigr) \, \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} …

距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(3)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( X \) を距離空間とし, \( F_1\), \( F_2 \subset X \) を互いに交わらない閉集合とする. このとき, \[ F_1 \subset U_1, \quad F_2 \subset U_2, \quad U_1 \cap U_2 = \emptyset \] をみたす開集合 \( U_1 \), \( U_2 …

距離関数の連続性

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \)1. \( (X,d) \) を距離空間とし, \( a \in X \) とする. このとき, \[ d( \Box, a) : X \to \R, \quad x \mapsto d(x,a) \] は連続である. 証明. 三角不等式より, 任意の \(x, y \in X\) に…

距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(2)

\( \newcommand{\Bx}{B \left(x, \frac{d(x, F_2)}{2} \right)} \newcommand{\By}{B \left(y, \frac{d(y, F_1)}{2} \right)} \newcommand{\dx}{d(x, F_2)} \newcommand{\dy}{d(y, F_1)} \newcommand{\dsum}{\dx + \dy} \)\( F_1 \) と \( F_2 \) を距離空間 …

距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(1)

主張を正確に述べます: \( F_1 \) と \( F_2 \) を距離空間 \( X \) の交わらない閉集合とするとき, ある開集合 \( U_1 \) と \( U_2 \) が存在して, \[ F_1 \subset U_1, \quad F_2 \subset U_2, \quad U_1 \cap U_2 = \emptyset. \] 証明は, \begin{align…

ドラゴン曲線の描き方

「世代」に 0 〜 16 の数字、「角度」に 60 〜 180 の数字を入力してください: 世代: 角度: ドラゴン曲線とは 「第 n 世代 のドラゴン曲線」を次の図のように描いていきます。 その極限として得られる曲線が「ドラゴン曲線」です。 前の世代を構…

コッホ曲線の描き方

描き方 「コッホ曲線」は、 第0世代のコッホ曲線, 第1世代のコッホ曲線, 第2世代のコッホ曲線, 第3世代のコッホ曲線, ... と描いていった果ての極限ですが, その描き方は以下の通りです: Canvas でのプログラミング 「原点 (0, 0) を左端とし, 点 (size…

べき集合の濃度

\( \newcommand{\d}{\mathrm{def}} \)えもいわれぬ味わい. 集合 \( A \) に対して, 「 \(A\) の部分集合の全体 」 を \(A\) のべき集合といいます. これを \( P(A) \) と書くことにしましょう: \[ P(A) := \{ B \mid B \subset A \}. \] 集合 \( A \) とそ…

実数全体の集合は非可算

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\a}{\alpha} \)無限にも種類があるよ, という話. 無限集合 \(S\) が可算であるとは, \[ \{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots \} \] から \(S\) への全単射が存在することです. 無限集合 \(S\) が非可算であるとは, \(S\…

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (4)

\( \DeclareMathOperator{\id}{id} \newcommand{\co}{\, \colon \,} \newcommand{\bz}{\boldsymbol{z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\detR}{\textstyle \det_{\R}} \newcommand{\detC}{\textstyle \det_{\C}} \new…

ベクトル空間の係数拡大と行列式

\( \DeclareMathOperator{\id}{id} \newcommand{\p}{\varphi_c} \newcommand{\f}{f \otimes \id_K} \newcommand{\V}{V \otimes_k K} \)\( k \subset K \) を体の拡大. \( V \) は \( k \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間で, \[ f \colon V \to V \] は \( k …

ベクトル空間の係数拡大(2)

\( \newcommand{\colo}{\, \colon \,} \newcommand{\vw}{v \otimes w} \newcommand{\VW}{V \otimes_k W} \newcommand{\VK}{V \otimes_k K} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\p}{\varphi} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)ベク…

線形写像のテンソル積

\( \newcommand{\V}{V \otimes W} \newcommand{\Vd}{V' \otimes W'} \newcommand{\t}{\tau_{f,g}} \newcommand{\fg}{f \otimes g} \)\( V \), \( V' \), \( W \), \( W' \) を体 \( k \) 上のベクトル空間とします. 2つの \( k \) 線形写像 \begin{align*} …

ベクトル空間の係数拡大(1)

\( \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\p}{\varphi} \newcommand{\tensor}{V \otimes_k K} \)\( k \subset K \) を体の拡大とします. \( k \) 上のベクトル空間 \( V \) から, 自然に \( K \) 上のベクト…

ベクトル空間のテンソル積

\( \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\m}{\mu} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ps}{\psi} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)まったく見事な定義です. \( V \) と \( W \) を体 \( k \) 上のベ…

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (3)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\gamma} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\abar}{\overline{\a}} \newcommand{\bbar}{\overline{\b}} \newcommand{\cbar…

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (2)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \)\( \a = a + bi \in \C \) (\(a\), \(b \in \R\))に対して, \[ \begin{vmatrix} a & -b \\ b & a \end{vmatrix} = a^2 + b^2 = | \a |^2 \] ですが, これを少し違…

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (1)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\m}{m_{\alpha}} \)\( \a \in \C\) に対して, 写像 \[ \m \colon \C \to \C, \quad z \mapsto \a z \] は複素線形写像である: \…

弧状連結空間は連結である

\( \newcommand{\g}{\gamma} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \) 弧状連結な位相空間は連結です. 弧状連結ってなに? \( \to \) 以下が定義です. 位相空間 \( X \) が弧状連結であるとは, 任意の \( x \), \( y \in X \) に対して, \( x \) を始点とし \( y \…

1 点を共有する連結空間の和も連結である

\( \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\Sl}{S_{\l}} \newcommand{\belong}{{\l \in \L}} \) \( X \) を位相空間とし, \( \Sl \) \( (\l \in \L) \) を \[ X = \bigcup_{\l \in \L} \Sl \] なる \( X \) の部分集合族とする. 各…

連結空間の連続写像による像も連結

\( \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \) \( X \) と \( Y \) を位相空間とし, \( f \colon X \to Y \) を連続な全射とする. \( X \) が連結ならば, \( Y \) も連結である. 証明. 記号 \( \sqcup \) は直和. \[ Y = U \sqcup V, \quad \text{\(U\), \(V\) は開}…

閉区間の連結性

\( \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\ab}{[a,b]} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)閉区間 \( \ab \) は連結です. \( a \), \( b \) は \( a この事実は実数直線 \(\R\) の連結性から従うのですが, それを少し丁寧に書いてみます. 記号 \( \sqcup \) は直…

実数直線の連結性

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\p}{\partial} \)補題から. 以下ずっと, 記号 \( \sqcup \) は直和です. 補題. \( X \) を位相空間とする. \( A \su…

中間値の定理

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\m}{\mu} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \)\( X \) は連結な位相空間, \( f \colon X \to \R \) は連続な写像とする. \( \a \( \a \) と \( \b \) という値を…

位相の基礎概念(内部、外部、境界、閉包、触点、集積点、孤立点)

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand{\i}{\Int A} \newcommand{\e}{\Ext A} \newcommand{\b}{\partial A} \newcommand{\c}{\overline{A}} \)\( A \) を位相空間 \( X \) の部分集合とする. このとき, \( X \) …

IEEE 754 浮動小数点数

\( \DeclareMathOperator{\Inf}{Inf} \DeclareMathOperator{\NaN}{NaN} \)倍精度浮動小数点数(64 ビット): \[ s E_1 \cdots E_{11} d_1 \cdots d_{52} = (-1)^s \times (1. d_1 \cdots d_{52})_2 \times 2^{E - 1023}, \quad E = (E_1 \cdots E_{11})_2. …

最大公約多項式、最小公倍多項式と体の拡大

\( \newcommand{\Kx}{K[x]} \newcommand{\Lx}{L[x]} \) 気になって考えたので, メモ. 問い. \( K \subset L \) を体の拡大とし, \[ f(x), g(x) \in \Kx \] とする. これらの最大公約多項式は, \( \Kx \) の中で考えた場合と \( \Lx \) の中で考えた場合で異…

多変数の多項式環

\( \newcommand{\RX}{R[X]} \newcommand{\p}{\varphi} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\t}{\tau} \) 多変数の多項式環の定式化も, 一変数の場合と同じようにしてできるので, やってみます. 定義. \( X = \{ x_1, \ldots, x_n \} \) \( (n \ge 1) \) を…

多項式環の普遍性

\( \newcommand{\Rx}{R[x]} \newcommand{\p}{\varphi} \DeclareMathOperator{\id}{id} \) \( R \) を可換環とする. \( S \) を \( R \) 代数とし, \( a \in S \) とする. このとき, \( R \) 代数の準同型 \[ \p \colon \Rx \to S \] で, \[ \p(x) = a \] を…