勉☆強☆し☆な☆い

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複素整数と有限体の世界

複素整数と有限体の世界(8)ー第 II 部 基本概念ー共役とノルム(1)

前回までに, 3つの仮説 A, B, C を導入しました. これらの仮説が正しいのかどうか, 今後の記事で検証していきたいと思います. 仮説の検証作業に入る前に, 以後の議論を円滑に進めるため, いくつかの基本的な概念を導入します. それらは, ”共役", ”ノルム…

複素整数と有限体の世界(7)ー第 I 部 導入ー仮説 B と仮説 C(2)

方程式: \[ x^2 + y^2 = n, \quad n = p_1^{\, l_1} \, p_2^{\, l_2} \, \cdots \, p_r^{\, l_r}. \tag{#} \] ここで, 全ての \( h \) に対して, \[ p_h \equiv 1 \pmod{4}. \] 整数解: \begin{multline} x+i \, y \, = \, \pm \, \left(\pi_1^{a_1} \, \…

複素整数と有限体の世界(6)ー第 I 部 導入ー仮説 B と仮説 C(1)

方程式: \[ x^2 + y^2 = n, \quad n = p_1^{\, l_1} \, p_2^{\, l_2} \, \cdots \, p_{r}^{\, l_r}. \tag{#} \] (第 2 式は \( n \) の素因数分解.) 整数解: 各素因子 \( p_h \) が \[ p_h = \pi_h \, \overline{\pi_h}, \quad \pi_h \, \text{は複素…

複素整数と有限体の世界(5)ー第 I 部 導入ー仮説 A

問い: どのような素数 \( p \) が \[ p = \pi \, \overline{\pi}, \quad \pi \, \text{は複素整数} \] という形に分解できるのか? 言い換え: どのような素数 \( p \) に対して, 方程式 \[ x^{2} + y^{2} = p \tag{#} \] は整数解をもつのか? 実験 最初…

複素整数と有限体の世界(4)ー第 I 部 導入ー複素整数への分解(2)

前回の続きです. 方程式 \[ x^2 + y^2 = n \quad \tag{#} \] の整数解について考えています. 方程式 \( x^2 + y^2 = n \) 前回述べた, 方程式 \[ x^2 - y^2 = n \] の解法を真似してみましょう: 方程式(#)を \[ \left(x + i \, y \right) \left(x - i \…

複素整数と有限体の世界(3)ー第 I 部 導入ー複素整数への分解(1)

今回から改めて, 方程式 \[ x^2 + y^2 = n \quad \tag{#} \] (\( n \) は 1 以上の整数)の整数解について考えていきます. (本質的に同じと見做される解を除くために前回まで付けていましたが, これからは, 条件 \[ 「 \,\, 0 \le x \le y \,\, 」 \] の…

複素整数と有限体の世界(2)ー第 I 部 導入ー複素整数の魔法(2)

前回の続きです. 複素整数を利用して, 方程式 \begin{equation} x^{2} + y^{2} = 8633 \, \left(\, = 89 \times 97 \right), \quad 0 \le x \le y \tag{#} \end{equation} の整数解を求めます. 複素整数の共役 複素整数 \[ z = a + b \, i \] に対して, \[ …

複素整数と有限体の世界(1)ー第 I 部 導入ー複素整数の魔法(1)

方程式 \begin{equation} x^{2} + y^{2} = 8633, \quad 0 \le x \le y \tag{#} \end{equation} の整数解を見付けられるでしょうか? 一つの手は, \[ 8633 - x^{2} \] が平方数となる場合をしらみつぶしに探すことですが, これはけっこう大変です. \[ \sqrt{…

複素整数と有限体の世界(0)ーまえがき

複 素 整 數 と 有 限 體 の 世 界 素朴な疑問を追いかけているうちに、新しい風景が見えてきて、そしてその見慣れぬ世界を探検するうちに、また素朴な疑問が生じてくる。 そうやって、まだ見ぬ道をただただ追いかけているうちに、いつの間にやら開拓の最前…

目次: 複素整数と有限体の世界

(0) まえがき 第 I 部 導入 (1) 複素整数の魔法(1) (2) 複素整数の魔法(2) (3) 複素整数への分解(1) (4) 複素整数への分解(2) (5) 仮説 A (6) 仮説 B と仮説 C(1) (7) 仮説 B と仮説 C(2) 第 II 部 基本概念…