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アポロニアン・ガスケットの描き方

アポロニアン・ガスケットの描き方

(0) ぐるぐる回る無数の円 (1) 概要 (2) 最初の3円 (3) 立体射影 (4) 反転(1) (5) 反転(2) (5.5) 変形する格子のアニメーション (6) 円の反転(1) (7) 円の反転(2) (8) 4つの反転円(1) (9) 4つの反転円…

アポロニアン・ガスケットの描き方(15) ー 全ての円を生み出すアルゴリズム

前回, 第 n 世代の円を描く手順について述べました: 第 n−1 世代の円 En-1 を1つ選ぶ. 円 En-1 に接する第 n−2 世代以前の3つの円 F, G, H を見付ける. (#)によって決まる第 n 世代の円 Fn, Gn, Hn を描く. 第 n−1 世代の全ての円に対…

アポロニアン・ガスケットの描き方(14) ー 第 n 世代の円

第 n−1 世代(n≧2)の円まで描き終えたとして, 第 n 世代の円の描き方を考えましょう. 第 n−1 世代の1つの円 En-1 に注目します. 円 En-1 はある第 n−2 世代の隙間の中に描かれたはずなので, 次の図のような状況になっていなければなりません. …

アポロニアン・ガスケットの描き方(13) ー 隙間

アポロニアン・ガスケットは, 円を次々と隙間にはめ込んでいくことにより描かれます. 次に描くべき円は, その時に存在する”隙間”によって決定され, それらの円を描くことにより, また新しい”隙間”が生み出されます. 第 2 世代以降の円を考察するにあたって,…

アポロニアン・ガスケットの描き方(12) ー 第1世代の円

第1世代の円は次のような円です: A1 : 3円 B, C, D に接する円のうち A でないもの, B1 : 3円 A, C, D に接する円のうち B でないもの, C1 : 3円 A, B, D に接する円のうち C でないもの, D1 : 3円 A, B, C に接する円のうち D…

アポロニアン・ガスケットの描き方(11.5) ー 円の接線

前回の記事で, 次の事実を用いました. 点 P0(x0, y0) を円 C: x2 + y2 = r2 上の点とするとき, 点 P0 における円 C の接線 は, 方程式 \[ \ell \, \colon \, x_0 x + y_0 y = r^{2} \] で表される. 今回の記事では, この事実を証明したいと思…

アポロニアン・ガスケットの描き方(11) ー 4つの反転円(4)

反転円 A’, B’, C’ (別の求め方) 反転円 A’, B’, C’ の中心と半径を「アポロニアン・ガスケットの描き方(10) ー 4つの反転円(3)」において求めました. そこでは, 円 A’, B’, C’ が三角形の傍接円であることを用いましたが, これらの円の…

アポロニアン・ガスケットの描き方(10.5) ー 傍接円

前回の補足です. 三角形の傍接円の中心と半径を求めましょう. 議論は内接円の場合(アポロニアン・ガスケットの描き方(9.5) ー 内接円)と平行です. 以下, 点 A, B, C の位置ベクトルを , , で表します. 角の二等分線 平面上の任意の点 P に対して, …

アポロニアン・ガスケットの描き方(10) ー 4つの反転円(3)

反転円 A’, B’, C’ 2点 B0, C0 を通り円 D に直交する円を A’ とします. (円 D’ のときと同じ理由により, 円 A’ は点 P を通ります.) 円 A’ は三角形 BCD と次のような関係にあります: 辺 BC と点 P で接している. 辺 DB の延長と点 …

アポロニアン・ガスケットの描き方(9.5) ー 内接円

前回の補足です. 三角形の内接円の中心と半径を求めましょう. 3 つのベクトルによる点の表示 3点 A, B, C は同一直線上にはないものとし, \[ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \quad \overrightarrow{b} = \overrightarrow{\mathrm{…

アポロニアン・ガスケットの描き方(9) ー 4つの反転円(2)

反転円 D’ 2点 P, Q を通り, 円 C に直交する円を D’ とします(前々回述べたように, そのような円はただ1つだけ存在します). 円 D’ は円 A, B にも直交しています. 円 A, B は反転円 D’ に関する反転によってそれぞれ自分自身に写るので, そ…

アポロニアン・ガスケットの描き方(8) ー 4つの反転円(1)

反転に関する準備が続きましたが, 今回から, アポロニアン・ガスケットの話に戻ります. 第0世代の円は既に描き終えていますので, 第1世代の円から始めましょう. 第1世代の円を描くには, 次の4つの円が必要となります. 円 A’: 円 B, C, D に直交する…

アポロニアン・ガスケットの描き方(7) ー 円の反転(2)

等角性により, 円の反転に関して, 次の2つのことが成り立ちます. 互いに接する2円は, 反転によって互いに接する2円に写る. 反転円に直交する円は, 反転によって自分自身に写る. 以下は, その理由についてです. 1 について 2曲線 C と C が点 P にお…

アポロニアン・ガスケットの描き方(6) ー 円の反転(1)

円円対応によれば, 反転は円を円または直線に写します. 本記事では, 左側の「反転円の中心 I を通らない場合」を考えます. 円 C の中心と半径から円 C’ の中心と半径を求めることが目標です. まず, \[ \overrightarrow{\mathrm{IQ'}} = \mathrm{IQ'} \cdo…

アポロニアン・ガスケットの描き方(5.5) ー 変形する格子のアニメーション

前回の記事「アポロニアン・ガスケットの描き方(5) ー 反転(2)」で, 反転によって変形された格子を紹介しました. 今回はその補足で, 反転円の半径を連続的に変化させたときの格子の変形の様子です. (画像のクリック: 開始 → 停止 → 再開 → … ) 反転…

アポロニアン・ガスケットの描き方(5) ー 反転(2)

平面の非自明な等角変換が, 立体射影を通して球面の合同変換から得られる. その最も簡単な例を与えるのが, XY平面に関する球面の対称変換 P P' です. 得られる等角変換がどのようなものなのか, 調べてみましょう. 私たちが知りたいのは点 Q と点 Q' の…

アポロニアン・ガスケットの描き方(4) ー 反転(1)

形は変化するが, 角度は決して変化しない. 日常出会うことのない立体射影のこの不思議な性質には, どこか人を惹きつけるものがあります. 等角性をもった平面上の変換は存在するでしょうか? 平行移動, 回転, 折り返し, 拡大縮小. これら自明なもの以外にはな…

アポロニアン・ガスケットの描き方(3) ー 立体射影

球面と平面を対応付ける方法の一つに立体射影と呼ばれるものがあります. 上の図で, 点Pに点Qを対応付ける(直線NPと平面の交点がQ), という方法です. 例えば球を地球と考えれば, 平面の上に世界地図を描くことができるでしょう. 私たちはアポロニアン…

アポロニアン・ガスケットの描き方(2) ー 最初の3円

アポロニアン・ガスケットを描くには, まず第0世代の3つの円を描かなければなりません. 左図の円 , , の半径を大きくして, 右図のような互いに接する円にしたいのですが, それぞれの半径 , , をどのようにとればよいでしょうか? その答えは, \[ r_A = \fr…

アポロニアン・ガスケットの描き方(1) ー 概要

アポロニアン・ガスケット. 無数の円があり複雑な図形に見えますが, その描き方は意外と簡単です. この記事では, それを紹介したいと思います. (左側の図形を扱いますが, 右側の図形でも考え方はほぼ同じです. 両者は実は同じものです.) それでは, さっそ…

アポロニアン・ガスケットの描き方(0) ー ぐるぐる回る無数の円

円周上に3つの点があるとします。 このとき、互いに接する3つの円A、B、Cが描けます。 隙間をどんどん接する円で埋めていきます。 (第0世代 → 第1世代 → 第2世代 → … ) こうしてできた図形は、アポロニアン・ガスケット(Apollonian gasket)と呼ばれ…