勉☆強☆し☆な☆い

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2015-08-30から1日間の記事一覧

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習30

\( A \), \( B \) を \( R \) のイデアルとする. (1) \( A \) と \( B \) が同じイデアル類に属するとする. このとき, ある 0 でない \( \alpha \), \( \beta \in R \) が存在して, \[ \alpha A = \beta B. \] \( R \) は整域であり, \( \alpha \neq 0 \), \…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習29

(1) 積を計算すると, \begin{align} &1 + \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4} + 3 \omega^{5} + 3 \omega^{6} \\[0.3em] &+ 3 \omega^{7} + \omega^{8} + 3 \omega^{9} + 3 \omega^{10} + 7 \omega^{11} + 3 \omega^{12} \\[0.3em] &+ 3 \omega^…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習28

\[ x + y \omega \equiv y + x \omega \pmod{p} \] より, \[ x \equiv y \pmod{p}. \quad \Box \]

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習27

1. \( 2 \le k \le p-2 \) とする. このとき, \[ 1 \le k - 1 < k \le p-2 \] である. \[ x + \left( y \omega - y \omega^{k - 1} - x \omega^k \right) \equiv 0 \pmod{p} \] より, \[ p \mid x \] であるが, これは矛盾である. 2. \( k = p-1 \) とす…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習26

練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して, \[ \alpha^p \equiv a \pmod{p}. \] したがって, \[ x + y \omega \equiv u \alpha^p \equiv u a \pmod{p} \] である. 共役をとると, \[ x + y \omega^{-1} \equiv \overline{u} a \pmod{p}. \] 単数…