勉☆強☆し☆な☆い

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2015-08-28から1日間の記事一覧

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習25

\[ \alpha = a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} \quad (a_i \in \mathbb{Z}) \] とする. 練習 24 より, \begin{align} \alpha^p &= (a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2})^p \\ & \equiv a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習24

(1) \[ (\beta + \gamma)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} \beta^i \gamma^{p-i} \equiv \beta^p + \gamma^p \pmod{p}. \quad \Box \] (2) \[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p = \beta_1^p + \cdots + \beta_r^p \pmod{p} \] を \( r \) に関する帰納法で示す…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習23

\[ \beta \equiv \gamma \pmod{p} \] ならば, \[ \beta - \gamma = p \delta \] となる \( \delta \in \mathbb{Z}[\omega] \) が存在する. 両辺の共役をとって, \[ \overline{\beta} - \overline{\gamma} = p \overline{\delta}. \] \( \overline{\delta} \i…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習22

\[ \alpha = p \beta, \quad \beta \in \mathbb{Z}[\omega] \] とする. \[ \beta = b_0 + b_1 \omega + \cdots + b_{p-2} \omega^{p-2}, \quad b_i \in \mathbb{Z} \] とすれば, \[ a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} = (p b_0) + (p b_1) \…