2015-08-22から1日間の記事一覧

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習12

(1) (a) が単数ならば, \( N(\alpha) = 1 \): ある \( \beta \in \mathbb{Z}[\omega] \) に対して, \[ \alpha \beta = 1. \] 両辺のノルムをとって, \[ N(\alpha) N(\beta) = 1. \] \( N(\alpha) \), \( N(\beta) \) は非負の整数であるから, \( N(\alpha) …

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習11

(1) (a) 直接的な計算による解法: \[ \alpha = a + b \omega, \quad \beta = c + d \omega \] とする. このとき, \begin{align} \alpha \beta &= ac + (ad + bc) \omega + bd \omega^{2} \\ &= ac + (ad + bc) \omega + bd(-1 - \omega) \\ &= (ac - bd) + …