勉☆強☆し☆な☆い

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2015-08-20から1日間の記事一覧

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習9

4 で割って 3 余る素数. . を 4 で割って 1 余る素数とするとき, \[ \alpha \overline{\alpha} = p \] をみたす \( \alpha \), \( \overline{\alpha} \in \mathbb{Z}[i] \). これらは同伴でない(この証明は省略). これらが \( \mathbb{Z}[i] \) の既約元で…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習8

(a) 巡回群 の生成元を \( r \bmod p \) とする. \[ n := r^{\frac{p-1}{4}} \] とおくと, \[ \left( n^{2} \right)^{2} = n^{4} = r^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \] であるので, \[ n^{2} \equiv \pm 1 \pmod{p} \] である. \( r \bmod p \) は の生成元であっ…

Number Fields (Daniel A. Marcus) : 第1章 練習7

のうち, \( N(\alpha) \) が最小であるものをとる. \( \beta \in I \) とし, \( \beta \) は \( \alpha \) の倍数ではないとする. ある \( \gamma \in \mathbb{Z}[i] \) が存在して, \( \beta \) は下図の正方形の内部に含まれる. このとき, \[ N(\beta - \g…