イデアルの共通部分と積

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\II}{\mathbb{I}} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcomma…

交わらないコンパクト集合と閉集合の間の距離は正

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newco…

点と集合の距離、集合と集合の距離

\( \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\} } \) 1. 距離空間 \( (X, d) \) の空でない部…

可換環の可逆元と極大イデアル

\( \newcommand{\calM}{\mathcal{M}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarr…

有限可換環の非可逆元と零因子

\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,}…

射影空間と射影変換

\( \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \c…

部分空間の逆像の次元

\( \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \newcommand{\usurj}[1]{\overset{#1}{\twoheadrightarrow}} \DeclareMathOperator{\Ker}…

ベクトル空間の次元定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\…

テイラーの定理(4)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, ロルの定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(3)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, 平均値の定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, …

テイラーの定理(2)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. テイラーの定理を証明します. テイラーの定理とは次の命題でした. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(1)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \) 1. \( n \) 次多項式関数 \[ p(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cd + c_n x^n \] を考えます. \( k \) 回(\( 0 \le k \le n \))微分して \( x = 0 \) を代入すると,…

平均値の定理の応用(2): 微分積分学の基本定理

\( \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 平均値の定理の応用として, 微分積分学の基本定理…

平均値の定理の応用(1): 微分してゼロになる関数は定数である

\( \newcommand{a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \) 1. 平均値の定理の応用として, 次の事実を示します. \( f \) を \( (a,b) \) 上の微分可能な関数とする. このとき, 任意の \( x \in (a,b) \) に対して \( f'(x) = 0 \) ならば, \( f \) は \( (a,b) \…

積分の平均値の定理

\( \newcommand{a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \m…

平均値の定理

\( \newcommand{\equ}{\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,} \newcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{ #1 }} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\set}[2]{\…

ロルの定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\imp}{\,\,\, \Rightarrow \,\,\,} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \rig…

\( \mathbb{R} \) のコンパクト部分集合は、最大値および最小値をもつ

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \) 1. 次のことの証明を2つ述べる: \( \RR \) の空…

最大値の定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \) 1. 定理. コンパクト空間上の実数値連続関数は最大値および最小値をもつ. 2. 証明. コンパクト空間から位相空間への連続写像があるとき, その像はコンパクトである. したがって, 今の場合, 像は \( \RR \) のコンパクト…

シンプソンの公式の誤差

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\lg}{\lessgtr} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]…

シンプソンの公式と三次関数

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcom…

シンプソンの公式

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1…

因数定理

\( \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 以下の話で出てくる数はすべて実数です. 2. 多項式に関して, 「因数定理」と呼ばれる定理があります: \( 1 \) 次以上の多項式 \( f…

ラグランジュ補間(2)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\vd}{\vdots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarr…

ラグランジュ補間(1)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \) 1. 次のことが成り立ちます. 実直線上に相異なる \( n + 1 \) 点 \[ x_0, \, x_1, \, \ld, \, x_n \…

連結部分集合の閉包もまた連結である

\( \newcommand{\olY}{\overline{Y}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\qup}{\sqcup} \) 1. \( X \) を位相空間とし, \( Y \) をその連結な部分集合とする. このとき, \( Y \) の閉包 \( \olY \) も連結である. 2. 証明: \( \olY \) が連結でな…

二次関数の定積分: 5/6 公式

\( \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \) 1. \( a 2. 「1/6 公式」とは次の等式でした: \[ \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx = - \rec{6} h^3 \] 3. 本記事では, 次の「5/6 公式」を示します: \begin{align} \int_{a-h}^a (x-a)(x-b) \, dx &= \frac{5}{6} h^3…

\( \mathbb{R} \) の開集合は、互いに交わらない可算個の開区間の和である

\( \newcommand{\calU}{\mathcal{U}} \newcommand{\calI}{\mathcal{I}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\olbbR}{\overline{\mathbb{R}}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\oo}{\i…

二次関数の定積分: 1/6 公式(2)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 放物線に…

二次関数の定積分: シンプソンの公式と 1/6 公式

\( \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 定積分の…