レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

テイラーの定理(4)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, ロルの定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(3)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, 平均値の定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, …

テイラーの定理(2)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. テイラーの定理を証明します. テイラーの定理とは次の命題でした. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(1)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \) 1. \( n \) 次多項式関数 \[ p(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cd + c_n x^n \] を考えます. \( k \) 回(\( 0 \le k \le n \))微分して \( x = 0 \) を代入すると,…

平均値の定理の応用(2): 微分積分学の基本定理

\( \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 平均値の定理の応用として, 微分積分学の基本定理…

平均値の定理の応用(1): 微分してゼロになる関数は定数である

\( \newcommand{a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \) 1. 平均値の定理の応用として, 次の事実を示します. \( f \) を \( (a,b) \) 上の微分可能な関数とする. このとき, 任意の \( x \in (a,b) \) に対して \( f'(x) = 0 \) ならば, \( f \) は \( (a,b) \…

積分の平均値の定理

\( \newcommand{a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \m…

平均値の定理

\( \newcommand{\equ}{\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,} \newcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{ #1 }} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\set}[2]{\…

ロルの定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\imp}{\,\,\, \Rightarrow \,\,\,} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \rig…

\( \mathbb{R} \) のコンパクト部分集合は、最大値および最小値をもつ

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \) 1. 次のことの証明を2つ述べる: \( \RR \) の空…

最大値の定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \) 1. 定理. コンパクト空間上の実数値連続関数は最大値および最小値をもつ. 2. 証明. コンパクト空間から位相空間への連続写像があるとき, その像はコンパクトである. したがって, 今の場合, 像は \( \RR \) のコンパクト…

シンプソンの公式の誤差

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\lg}{\lessgtr} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]…

シンプソンの公式と三次関数

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcom…

シンプソンの公式

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1…

因数定理

\( \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \) 1. 以下の話で出てくる数はすべて実数です. 2. 多項式に関して, 「因数定理」と呼ばれる定理があります: \( 1 \) 次以上の多項式 \( f…

ラグランジュ補間(2)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\vd}{\vdots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarr…

ラグランジュ補間(1)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \) 1. 次のことが成り立ちます. 実直線上に相異なる \( n + 1 \) 点 \[ x_0, \, x_1, \, \ld, \, x_n \…

連結部分集合の閉包もまた連結である

\( \newcommand{\olY}{\overline{Y}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\qup}{\sqcup} \) 1. \( X \) を位相空間とし, \( Y \) をその連結な部分集合とする. このとき, \( Y \) の閉包 \( \olY \) も連結である. 2. 証明: \( \olY \) が連結でな…

二次関数の定積分: 5/6 公式

\( \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \) 1. \( a 2. 「1/6 公式」とは次の等式でした: \[ \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx = - \rec{6} h^3 \] 3. 本記事では, 次の「5/6 公式」を示します: \begin{align} \int_{a-h}^a (x-a)(x-b) \, dx &= \frac{5}{6} h^3…

\( \mathbb{R} \) の開集合は、互いに交わらない可算個の開区間の和である

\( \newcommand{\calU}{\mathcal{U}} \newcommand{\calI}{\mathcal{I}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\olbbR}{\overline{\mathbb{R}}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\oo}{\i…

二次関数の定積分: 1/6 公式(2)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 放物線に…

二次関数の定積分: シンプソンの公式と 1/6 公式

\( \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 定積分の…

二次関数の定積分: 1/6 公式(1)

\( \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \) 1. 二次関数の定積分に関する次の等式を「1/6 公…

稠密な部分集合上の関数が全空間へ連続に拡張されるための必要十分条件

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\olf}{\overline{f}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcomman…

関数の極限が存在するための必要十分条件

\( \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\olf}{\overline{f}} \newcommand{\res}[2]{\left. #1 \, \right|_{#2}} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcomm…

稠密部分集合の直積はまた稠密

\( \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcomm…

稠密部分集合

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\calC}{\mathcal{C}} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand…

積位相の基

\( \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\calO}{\mathcal{O}} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\pinv}{p^{-1}} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\tm}{\times} \n…

位相の基、あるいは開基

\( \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\calO}{\mathcal{O}} \newcommand{\hcalB}{\hat{\mathcal{B}}} \newcommand{\hatB}{\hat{B}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\L}{\Lambda} \newcommand{\emset}{\em…

内部は最大の開集合、閉包は最小の閉集合

\( \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\qup}{\sqcup} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \DeclareMathOperator{\Int}{I…