レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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多様体上の単位の分割: 目次

「\( C^{\infty} \) 多様体上に, 与えられた開被覆に従属する \( C^{\infty} \) 単位の分割(1 の分割)が存在する」ことの証明が, 詳しく書いてあります.

ほぼ自己充足的で, \( C^{\infty} \) 多様体の定義さえ知っていれば読めます. \( C^{\infty} \) 多様体の定義も入れた方が自然であるとは思ったのですが, けっこう書き疲れており, 面倒に感じてやめておきました. 機会があれば, 書き足してみようかと思います. ("機会があれば" と言うときは, だいたいしないものですが.)

目次

  1. 第 0 章 序: 2 種類の異なる関数をつないでできる \(C^{\infty}\) 関数
  2. 第 1 章 \(\mathbb{R}^n\) 上の \(C^{\infty}\) 関数あるいは滑らかな関数
    1. 1.1 偏微分指定と微分鎖
    2. 1.2 偏導関数
    3. 1.3 \(C^{\infty}\) 関数あるいは滑らかな関数
    4. 1.4 \(C^{\infty}\) 関数の和, 積, 商および合成
    5. 1.5 \(C^{\infty}\) 関数と開被覆
    6. 1.6 コンパクト台をもつ \(C^{\infty}\) 関数
  3. 第 2 章 多様体上の \(C^{\infty}\) 関数あるいは滑らかな関数
    1. 2.1 \(C^{\infty}\) 関数あるいは滑らかな関数
    2. 2.2 \(C^{\infty}\) 関数の和, 積, 商
    3. 2.3 \(C^{\infty}\) 関数と開被覆
    4. 2.4 コンパクト台をもつ \(C^{\infty}\) 関数
  4. 第 3 章 局所有限和
    1. 3.1 局所有限な部分集合族
    2. 3.2 局所有限な部分集合族の和の閉包
    3. 3.3 局所有限和
    4. 3.4 局所有限和の簡単な性質
    5. 3.5 局所有限和の部分和への分解
    6. 3.6 \(C^{\infty}\) 関数の局所有限和
  5. 第 4 章 多様体上の単位の分割あるいは 1 の分割
    1. 4.1 関数族の開被覆への従属性
    2. 4.2 単位の分割あるいは 1 の分割
    3. 4.3 正被覆
    4. 4.4 コンパクトな場合
    5. 4.5 一般の場合
  6. 第 5 章 多様体上の縞模様
    1. 5.1 コンパクト集合と開集合からなる縞模様
    2. 5.2 局所コンパクト空間
    3. 5.3 第 2 可算公理をみたす局所コンパクト空間
    4. 5.4 縞模様の存在
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