レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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実数全体の集合が非可算であることの、外測度を用いた証明

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\e}{\varepsilon} \)

以前, 「実数全体の集合は非可算」 であることを区間縮小法を用いて証明しましたが, 外測度を利用すると, このことの非常に簡単な証明が得られます.

外測度の定義から始めます.

任意の \( A \subset \R \) に対して, その外測度 \( m^*(A) \) を \[ m^*(A) := \inf \, \sum_{k=1}^{\oo} \ell(I_k) \] で定義する. ここで, 下限は \( A \) を被覆する空でない開区間の列 \( (I_k)_{k=1}^{\oo} \) に関してとられ, \( \ell(I_k) \) は区間の長さ(端点の差)である.

証明には, 外測度の次の2つの性質を用います:

  1. 可算集合の外測度はゼロ.
  2. 有界区間の外測度はその長さ(端点の差).

これらの性質については後で確認することにして, まず, 実数全体の集合が非可算であることの証明を述べます.

証明区間 \( [0,1] \) の外測度は \( 1 > 0 \) であるので, \( [0,1] \) は非可算である. 可算集合の部分集合は可算であるので, \( \R \) も非可算である. □

用いた外測度の性質を確認しておきます.

1.

\( C \) を可算集合とします. このとき, \( C \) の各点が必ず現れるような数列 \( (c_k)_{k=1}^{\oo} \) が存在します. \( 1 \) に収束する正項級数をなんでもよいので1つ選びます: \[ \sum_{k=1}^{\oo} \ell_k = 1, \quad \ell_k > 0 \,\,\, (k \ge 1). \] \( \e > 0 \) とします. 各 \( k \) に対して, \( c_k \) を含み, 長さが \( \e \ell_k \) である開区間 \( I_k \) が存在します. \( (I_k)_{k=1}^{\oo} \) は \( C \) を被覆するので, \[ m^*(C) \le \sum_{k=1}^{\oo} \e \ell_k = \e. \] \( \e \) は任意であるので, \( m^*(C) = 0 \) でなければなりません. □

2.

長くなるので, 別記事にします. □